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基本知识复习不定积分不定积分概念，第一换元积分法原函数与不定积分概念设函数与在区间内有定义，对任意的，有或，就称是在内的一个原函数。如果是函数的一个原函数,称的原函数全体为的不定积分,记作不定积分得基本性质2。3。（3）基本不定积分公式表一第一换元积分法（凑微分法）设具有原函数, 可导,则有换元公式第二换元积分法，分部积分法第二换元积分法设是单调的、可导的函数,并且.又设具有原函数,则有换元公式其中是的反函数.分部积分法设函数及具有连续导数,那么,移项,得对这个等式两边求不定积分,得这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:基本积分公式表二（3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分有理函数的积分两个多项式的商称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式与分母多项式之间是没有公因式的.当分子多项式的次数小于分母多项式的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式,首先将在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是,另外一种是,其中是正整数且;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若分解后含有因式,则和式中对应地含有以下个分式之和:其中:为待定常数.若分解后含有因式,则和式中对应地含有以下个分式之和:其中:为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.可化为有理函数的积分举例例4 求解由三角函数知道,与都可以用的有理式表示,即如果作变换,那么而从而于是例5 求解设,于是从而所求积分为例6 求解设,于是从而所求积分为例7 求解设,于是从而所求积分为例8 求解设,于是从而所求积分为定积分定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质定积分的概念1。定积分的定义定义(定积分) 设函数在区间上有定义.用分点将区间任意分成个小区间,小区间的长度为记在每个小区间上任取一点,作乘积将这些乘积相加,得到和式这个和称为函数在区间上的积分和.令,若积分和有极限(这个值不依赖于的分法以及中间点的取法),则称此极限值为在上的定积分,记作其中和分别称为定积分的下限与上限，称为积分区间.函数的可积性定理1 若在上连续,则在上可积.定理2 若在上只有有限个间断点,并且有界,则在上可积.定积分的几何定义在上时,我们已经知道,定积分在几何上表示由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积;在上时, 由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方,定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在上既取得正值又取得负值时,函数的图形某些部分在轴的上方,而其它部分在轴下方.此时定积分表示轴上方图形面积减去轴下方图形面积所得之差(图4-2).定积分的基本性质为了以后计算及应用方便起见,对定积分做以下两点补充规定:当时,;当时,性质1 性质2 (线性性质) 推论1 推论2 性质3 性质4 若,则推论3 若,则推论4 若,则推论5 性质5(定积分中值定理)（图4-6）若在上连续,则至少有一点,使得积分上限的函数及其导数定理1 如果函数在区间上连续,则积分上限的函数在上可导,并且它的导数定理2 如果函数在区间上连续,则函数就是在上的一个原函数.牛顿---莱布尼茨公式定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则通常也把牛顿----莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.定积分的换元积分法与分部积分法在上连续,作变换,其中满足且当时,;(2)在上具有连续导数,则定积分的分部积分法：例28 证明:若在上是连续的偶函数,则若在上是连续的奇函数,则例29 若在上连续,证明:例31 设是连续的周期函数，周期为，证明:例9 证明: 证:令则当时,这样,我们得递推公式:当为正偶数时,当为正奇数时,又故在一些实际问题中,常会遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分,它反常积分无穷限的反常积分定义1 设函数在区间上连续,取,如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作即这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,则函数在无穷区间上的反常积分就没有意义,习惯上称为反常积分发散,这时记号不再表示数值了.类似地, 设函数在区间上连续,取,如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作即这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分发散.设函数在区间上连续,如果反常积分和都收敛,则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分,记作即这时也称反常积分收敛;否则就称反常积分发散.上述反常积分统称为无穷限的反常积分.由上述定义及牛顿