第七章应力和应变分析强度理论.pptVIP

x方向的线应变 ?x ?x引起的部分: ?y引起的部分: ?z引起的部分: 叠加得： dz dx dy X Y Z O sy sy sz sz tzy tyz tyz tzy tyx tyx txy txy sx sx tzx txz tzx txz 叠加得： 同理可得： 剪应变为： 这六个公式即为广义胡克定律。 用主应力表示的广义胡克定律 从前三式中可解出三个主应力 从前三式中可解出三个主应力 例(p2597.27) 从钢构件内某一点的周围取一部分如图，根据理论计算已经求得σ=30Mpa，τ=15Mpa，材料的E=200Gpaμ=0.30求对角线AC的长度改变量Δl。 解： 构件内的切应力对其线应变不产生影响。 A C τ σ 25 A C τ σ 25 对角线AC的长度改变量Δl 例 ： 已知: 受扭圆轴，d, E, ? , 测得 ?45o 。求：外加扭矩的值。 解： 在测点取单元体 纯切应力状态 切应力为 要求出45o方向的应变，需 先求出 45o方向的应力。 45o方向为主应力方向 T T D C B A 45o t ABCD s3 s1 s1 s3 45o 切应力为 45o方向为主应力方向 由广义胡克定律 ?? 测扭矩的方法 t ABCD s3 s1 s1 s3 45o 3.体积胡克定律 单元体 变形前体积 变形后体积 略去高阶微量 单位体积的改变 dx dy dz σ1 σ3 σ2 σ1 σ2 σ3 (1+ε2)dy (1+ε1)dx (1+ε3)dZ 单位体积的改变： ? ?? 体积应变 将广义胡克定律 代入上式得 单位体积的改变 ? ?? 体积应变 将广义胡克定律代入上式得 又可写成 记 ? 体积弹性模量 ? 体积胡克定律 例7.9: 已知: 孔: d1=50.01mm柱: d2=50mm, P=300kN, 钢块不变形。E=200GPa, ? =0.3。求：圆柱的主应力。 解： 柱受到的压应力 X Z Y F P/A p p p p p 径向的应变 由广义胡克定律 可得 圆柱的主应力为： §7. 9 复杂应力状态的变形比能 1 单向应力状态下的比能 功能原理 2 三向应力状态下的比能 变形能与加载方式无关 为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律 dy σ3 σ2 σ1 dx dZ 2 三向应力状态下的比能 为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律 代入上式，化简得 根据§7，8的讨论，单元体上的平均应力为： 3 体积改变比能和形状改变比能 体积改变, 形状不变； 体积不变, 形状改变 因体积改变而贮存的变形能 ? 体积改变比能 因形状改变而贮存的变形能 ? 形状改变比能 + 体积改变比能： 主应力 主平面 主方向角 σ1 α=13.6 0 x y τx σx τy τy A τx σ1 σ3 σ3 例 图示梁，求得m-m截面上的k点处的正应力大小70MPa,剪应力大小为50MPa。试确定k点的主应力及主平面的方位， 并讨论同一横截面上其他点的应力状态。 K q B A l a m m M K K Q 解：1、切取单元体，确定A的应力状态，如图所示。 2、应力状态分析： 计算主应力的大小及位置 例：试画图示拉弯构件点A的单元体，并求A 点-60o斜截面上的应力。 解 (1) 构件发生拉扭组合变形，构件横截面上有拉伸引起的正应力，和扭转引起的剪应力。其原始单元体如图（c）、(d)所示： P P M M d δ 300 600 A P N M T A (b) sx sx ?y A (c) ?x A (2)求A点指定-600斜截面上的应力 P P M M d δ 300 600 A σx ?x ?y A (d) 600 (3) 求梁的主应力及主平面方位角： (4)画点的主应力单元体如图（e）所示。 33.930 (e) A σ1 σ3 例7.4 已知: A点应力? = -70MPa,? = 50MPa。 解： 求：A点主应力和主平面，及其它点的应力状态。 A点单元体 取x轴如图所示 x 70Mpa 50Mpa A q l a m m A点的主应力 m m A 主应力 主方向角 或 x 70Mpa 50Mpa A 单向拉伸 单向压缩 纯剪切 其它几点的应力状态 x 70Mpa 50Mpa A m m A q l a m m 主拉应力?1迹线 主应力迹线 主压应力?3迹线 q 主应力迹线——主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位 例(p255)7.8： 已知矩形截面梁，某截面上的剪力Fs=120 kN及弯矩M =10KN.m。试绘出1、2、3、4点应力状态