第十二章：能量法.pptVIP

例12-13 超静定刚架如图a所示，已知载荷q=10KN/m，各段杆的抗弯刚度均为EI，试计算各支座处的约束反力。 解（1）解除多余约束 (见b图) （2）建立力法典型方程 （3）计算δ11与 Δ1F 2m 4m q C A B a) C A B X1 b) q δ11 Δ1F 在单位载荷作用下（见c图），基本静定刚架的弯矩方程为 BC段： AB段： 在实际载荷作用下（见d图），基本静定刚架的弯矩方程为 BC段： AB段： δ11 Δ1F （4）解方程，求多余未知力 将求出的δ11与Δ1F代入力法典型方程，即解得多余未知力 此即C支座的约束反力，再由平衡方程，即得支座的约束反力 （逆时针） 即得 例12-14 试计算图a所示超静定平面桁架中各杆内力，已知各杆拉压刚度均为EA。 解（1）解除多余约束 (见b图) （2）建立力法典型方程 （3）计算δ11与 Δ1F 在单位载荷作用下（见d图），基本静定桁架中各杆轴力分别为 在实际载荷作用下（见c图），基本静定桁架中各杆轴力分别为 （4）解方程，求多余未知力 将求出的δ11与Δ1F代入力法典型方程，即解得多余未知力 再由平衡方程，即可求得该超静定桁架的其余各杆轴力分别为 即得 能量法 第十二章：能量法 能量法 余 辉 yuh@czu.cn ◆ 外力功： 在外力作用下，固体的变形将引起外力的作用点沿其作用方向产生位移，便引起外力做功 。 ◆ 变形能或应变能： 弹性固体因变形将具有作功的本领 ，即能量 。 ◆ 能量法： 根据能量守恒原理，外力功w应等于弹性体的应变能 Vε。 §12-1 引 言 本章主要研究能量法的以下问题： 1. 外力功与杆件应变能的计算 ； 2. 能量法的卡式定理 ； 3. 能量法的单位载荷法与莫尔积分 ； 4. 能量法的力法求解超静定结构 。 一、外力功的计算 线弹性结构上的外力功的计算 。 b) 在线弹性范围内，F′与Δ′成正比 a) §12-2 外力功与应变能 的计算 1、 F为一个集中力 ， Δ就是沿F作用方向的线位移 1、轴向拉压杆 ◆需要指出： F与Δ均为广义量 2、 F为一个集中力偶 ， Δ就是角位移 3、 F为一对等值、反向的集中力或集中力偶 ， Δ就是相对线位移或相对角位移 二、杆件应变能的计算 轴向变形 轴力在d△l上作的功 整根杆的应变能 当FN/EA为常量时 2、圆轴扭转 扭转圆轴的应变能 当T/GIp为常量时 3、对称弯曲梁 对称弯曲梁的应变能 ◆由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构，所以，上式亦适用于刚架。 4、组合变形杆 例12-1 悬臂梁如图所示，试计算其应变能以及B截面的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。 解：（1）梁的应变能 梁任一横截面上的弯矩 （2）截面的转角 梁上外力的功为 Me x B A l 即得梁的应变能 由 于是 旋向与外力偶矩的旋向一致，为顺时针。 例12-2 试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为EI，杆的拉压刚度为EA。 解（1）CB杆的轴力 （2）由截面法，得梁的弯矩方程为 得梁的应变能 即得CB杆的应变能 所以，整个结构的应变能 C l A B x q a 例12-3 在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度均为EA，试计算结点的竖直位移ΔBV。 解（1）计算外力功 （2）计算应变能 由截面法，得AB、CB两杆的轴力分别为 三角支架上外力的功为 三角支架的应变能 2 1 l 45° F A C B （3）计算ΔBV 由 得 卡氏定理：应变能对任一载荷Fi的一阶偏导数，就等于的作用点沿Fi作用方向的位移 Δi。 ◆适用于梁和刚架的卡式定理的表达形式 说明： 1、卡式定理中的载荷Fi与位移Δi都是广义的； 2、卡式定理仅适用于线弹性结构。 ◆适用于桁架结构的卡式定理的表达形式 §12-3 卡氏定理 例12-4 如图，试用卡式定理计算三角支架结点的竖直位移ΔBV 。 解（1）分析由于待求位移ΔBV就是外力F的作用点沿作用方向的位移，因此，可直接运用卡式定理计算。 （2）求得两杆轴力及其对的一阶偏导数分别为 即得 2 1 l 45° F A C B 例12-5 一受均布载荷作用的悬臂梁如图所示，试求自由端B截面的转角θB。 解（1）分析由于在B截面处没有与转角θB对应的外力偶作用，因此不能直接利用卡式定理。 （2）在截面处添加一个力偶矩Me 令Me =0，即得 l A q B 可得在载荷q和Me的共同作用下，梁B截面的转角 与附加力偶矩的旋向相同，为顺时针。 l A q B Me x 例12-6 一平面刚架如图所