数学分析考研大纲.docVIP

数学分析考研大纲 第一部分 集合与函数 1、集合 实数集、有理数与无理数的调密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限复盖定理。上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广。 2、函数 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理。初等函数以及与之相关的性质。 第二部分 极限与连续 数列极限 数列极限的定义，收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质） 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用。 函数极限 各种类型的一元函数极限的定义（、语言 ），函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限：及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号о与O的意义。多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系。 函数的连续性 函数连续与间断的概念，一致连续性概念。连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最值可达性、介值性、一致连续性）。 第三部分 微分学 1、一元函数微分学 （i）导数与微分 导数概念及其几何意义，可导与连续的关系，导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。 （ii）微分学基本定理及其应用 Feimat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理， Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项)及应用，函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性讨论。 2、多元函数微分学 （i）偏导数与全微分 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式。 (ii) 隐函数定理与多元微分的应用 隐函数存在定理的应用，隐函数组存在定理的应用，隐函数（组）求导方法，反函数组与坐标变换。几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）。极值问题研究（必要条件与二元极值的充分条件），条件极值与Lagrange乘数法的应用。 第四部分 积分学 一元函数积分学 (i)不定积分 原函数与不定积分概念、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）有理函数积分，型积分，型积分 (ii)定积分 定积分概念与几何意义 ，可积条件（必要条件、充要条件：），可积函数类。定积分性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理） 变上限积分函数，微积分基本定理，N-L公式及定积分计算，定积分第二中值定理应用。 (iii)广义积分 无限区间上的广义积分概念、Canchy收敛准则，绝对收敛与条件收敛。非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）， Abel判别法，Dirichlet判别法。无界函数广义积分概念及其收敛性判别法。 (iv)定积分的应用 微元法思想。几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用。 多元函数积分学 （i）重积分与含参量积分 二重积分概念及其几何意义，二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）。三重积分概念，三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）。重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）。含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性。含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性。 (ii) 曲线积分与曲面积分 第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算，第二型曲线积分概念、性质、计算。Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件。曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算。奥高公式、Stoke公式。两类线积分、两类面积分之间的关系。 第五部分 级数 1、数项级数 级数及其敛散性，级数的和，Canchy准则，收敛必要条件，收敛级数基本性质。正项级数收敛的充要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式。交错级数的Leibni