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数学竞赛贴吧交流共促活动暨第3届“沧海杯”数学竞赛 一试试题 （2013年10月03日 时间：8：00—9：20，满分120分） 贴吧ID__________________ （必填） 一：填空题（每题8分，共8题） 1．若，则 . 2．在数列中，＝2，，设为数列的前n项和，则 的值为　　　　　 表示n的个位数，，的前2006项之和S2006＝ ． 求和：= （其中表示不超过的最大整数）. 5.如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。 6.计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n?1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。 7．已知、、、是三棱锥内的四点，且、、、分别是线段、、、的中点，若用表示三棱锥的体积，其余的类推．则 ． 8.在平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。 二：解答题：（第9题16分。20，21题20分） 9、（16分）已知：定义在上的减函数，使得对一切实数均成立，求实数的范围． 10.已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围。 11.用表示非空整数集S中所有元素的和，设是正整数集，且，若对每个正整数，存在A的子集S，使得，试求满足上述要求的的最小值。 数学竞赛贴吧交流共促活动暨第3届“沧海杯”数学竞赛 加试试题 （2013年10月03日 时间：9：40—12：10，满分180分） 贴吧ID__________________ （必填） 一．（40分）△中，、是边上两点，、是边上两点，满足，．设与交于，与交于，证明：平行于的角平分线． 二．（40分）数列定义如下： 求所有的整数，使得数列中的每一项都是完全平方数. （50分）设,求证: . 四．（50分）设，把集合{1，2，…，n}分拆为两个非空集合A与B（即有A∩B＝Φ，A∪B＝{1，2，…，n}），使得对A中任意两个不同的元素a、b，有；对B中任意两个不同的元素c、d，有．求n的最大可能值，使得存在满足题意的分拆．