计算机控制系统第七章.pptVIP

解： 于是有： 从而 （1）延时拍数 d=1 或 最小方差为： （2）设延时拍数 d=2 于是有： 从而 或 最小方差为： 可见，当延时增大时，最小方差也增大。 3、与极点配置设计法的比较 控制对象模型： （21） 由于 故 （22） （23） 于是 （24） 其中 （25） 由式（16），即 得到 上式为 e(k) 到 y(k) 的闭环传递函数，其特征多项式为： （26） （27） （28） 可见，系统的极点由三部分组成： （1）d-1 个原极点； （2）B(z) 的零点（n-d个）； （3）C(z) 的零点（n个）。 极点配置设计法中， （29） 则 R(z) 和 S(z) 满足如下的 Diophantine 方程： （30） 选定 则得到 （31） 代入（29）式，得到 （32） 此即为最小方差控制。由此可见，最小方差控制是按极点配置设计 方法的一个特例。 三、对象具有单位圆外零点时的最小方差控制 1、计算方法 [定理1] 给定控制对象的模型为： （33） 将 B(z) 分解为 （34） 其中B+(z) 包含所有单位圆内的零点（首一多项式）， 包含所有单 位圆外和圆上的零点。假定C(z)的所有零点均在单位圆内，A(z)和 互质，则最小方差控制为： （35） 其中 F(z)和G(z)满足如下的 Diophantine 方程： （36） 在上式中，求 degG(z) degA(z) 的最小阶解，F(z)和G(z)的阶次分别为： （37） （38） 是 的互反多项式。 [ 定理证明略 ] 定义： 1 互反多项式： 设 称 为 P(z) 的互反多项式。 2 I 型最小方差控制：最小方差控制器抵消 B(z) 的全部零点。 3 II 型最小方差控制：最小方差控制器只抵消 B+(z)而不抵消 。 说明： 1 I 型最小方差控制使得输出方差达到极小值，但控制量可能趋于 无穷大（抵消 ）。 2 II 型最小方差控制使得输出方差达到有限制的极小值，而不是最 小值，但它使得控制量是稳定的。 2、计算实例 控制对象模型： 已知 要求：计算最小方差控制。 B的零点在单位圆外，取 解：1 控制器的设计 于是，设 代入 Diophantine 方程（待定系数法）： 通过系数比较，得到 即 故最小方差控制为： 2 计算输出方差： y(k) u(k) e(k) + + 求出 e(k) 到 y(k) 的闭环传递函数 H(z): 代入具体参数，得到 从而 其中 即 由此可以看出，e(k) 与 不相关，从而有 假设系统处于平衡状态，有 于是 所以 3、与极点配置设计法比较 闭环系统特征方程（y(k)/e(k)）： （39） 可见，系统的极点由四部分组成： （1）d-1 个原极点 ； （2）对象中位于单位圆内的零点B+(z)； （3）对象中单位圆外零点关于单位圆周的镜象 ； （4）C(z) 的零点（n个）。 极点配置设计法中， （40） 则 R(z) 和 S(z) 满足如下的 Diophantine 方程： （41） 选定 则得到 （42） 可得到 （43） 可见，II 型最小方差控制器的设计也可以看成是按极点配置设计方法 的一个特例。 第三节 广义最小方差控制 最小方差控制的弱点： （1）性能指标中没有对控制量加以限制，因此控制量幅度大；为限制控 制量幅度，需要取较大的采样周期，这常使系统的其他性能变差； （2）当对象包含有单位圆外的零点时，需要采取改进措施，即采用II型 最小方差控制。 故采用如下更具一般性的二次型函数： （1） 以此作为性能指标的最优控制称为广义最小方差控制。 由上节（1）式与（7）式，得到 （2） 一、广义最小方差控制的计算 同理由上节（1）式，得到 （3） （C(z)的零点均在单位圆内） （3）式代入（2）式，得到： （4） 根据 e(k) 是白噪声序列及 的假设，可以得到： （5） 若令上式取极小，便可以得到最小方差控制，即 （6） 由于系统已处于平衡状态，从而（1）式可以表示为： （7） （5）式代入（7）式，得到： （8） 为使 J2 最小，求 J2 对 u(k)的导数。 （9） （10） 由于 故 （11） （11）式代入（9）式，得到 （12） 使上式等于零即可求得使 J2 极小的控制为： （13） * * 基于传递函数模型的极点配置与最优化设计方法的比较： （1）极点配置设计方法： （a）考虑确定性的跟踪系统；