新题库--第十二章第03节：离散型随机变量的期望与方差.docVIP

离散型随机变量的期望与方差 题型1 离散型随机变量的期望与方差 1．设ξ～B(n, p)且Eξ=2.4，Dξ=1.44，试求n, p的值。 解：因为ξ～B(n, p)，所以Eξ=np, Dξ=npq=np(1-p)。由题意可得方程组，解得。 2．有一批产品，其中有12件正品和4个次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，求Dξ. 解：∵Dξ=npq(其中q=1-p). 由题知，次品率p=，则Dξ=。 3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。 （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望； （3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率。 解：（1）ξ可能取的值为0，1，2。P(ξ=k)=, k=0, 1, 2. 所以，ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P （2）由（1），ξ的数学期望为Eξ=。 （3）由（1），“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=. 4．已知某离散型随机变量ξ的数学期望Eξ=，ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 P a b 求a的值. 解：∵Eξ==0×a+1×+2×+3bb=，又P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1 a+++=1a=。 ．某运动员投篮命中率P=0.6， （1）求一次投篮时命中次数ξ的期望与方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差。 解：分析：（1）投篮一次有两个结果；命中与不中。因此命中次数ξ服从两点分布。（2）重复5次投篮可认为是5次独立重复试验，命中次数η服从二项分布。 （1）投篮一次，命中次数ξ的分布列为： ξ 0 1 P 0.4 0.6 则Eξ=0×0.4+1×0.6=0.6, Dξ=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24。 （2）由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B(5, 0.6)，由二项分布期望与方差的结论有：Eη=np=5×0.6=3, Dη=np(1-p)=5×0.6×0.4=1.2。 ．某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费。设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量。已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a. （1）求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差。 （2）求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差。 解：（1）由概率分布的性质有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1. ∴100a2+7a=0.3, ∴1000a2+70a-3=0, a=, 或a=-（舍去），即a=0.03，∴100a2+3a=0.18, 4a=0.12，∴ξ的分布列为： ξ 200 220 240 260 280 300 P 0.12 0.18 0.20 0.20 0.18 0.12 ∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km). Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.11=964； （2）由已知η=3ξ-3(ξ3, ξ∈Z)，∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747（元），Dη=D(3ξ-3)=32Dξ=8676. 7．6支粉笔中有4支白粉笔。若 （1）从中不放回地连取3支，求其中白粉笔数ξ的期望； （2）从中有放回地连取3支，求其中白粉笔数η的期望。 解：（1）ξ服从超几何分布：P(ξ=k)=, k=1, 2, 3 ξ 1 2 3 P 0.2 0.6 0.2 故ξ的期望为Eξ=1×0.2+2×0.6+3×0.2=2. （2）由于每次得到白粉笔的概率为，且因有放回抽取，故做了3次独立重复试验，η～B(3, )，而Eη=3×=2。 点评：我们看到：放回与否对期望没有影响。注意η的分布列为 η 0 1 2 3 P 而方差Dη=，Dξ=(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.6+(3-2)2×0.2=0.4，故放回到否对分布列、方差有很大影响。 8．已知袋中有红色球3个，蓝色球2个，黄色球1个，从中任取一球，确定颜色后，不再放回袋中，取到红球就结束选取。 （1）求在三次选取中恰好有两次取到蓝色球的概率； （2）若最多可