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期末测验二参考解答 一.1　设，而，求。 2函数在点（1，2，2）处沿平面法线方向的方向导数为____。 所以 3 如果幂级数在处收敛，在处发散，则它的收敛域是 4 求曲面在点处的切平面和法线方程______________。 解 对应的切平面法向量=｛Fx ,Fy,, FZ｝， 切平面方程 或 法线方程 或 5设f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序为__________________________ 原式= 二 1 级数 （A）发散； （B）绝对收敛（C）条件收敛；（D）敛散性与有关。 答（ C ） 2 设函数，则 （A）函数在点处取得极大值 （B）函数在点处取得极小值 （C）点非函数的极值点 （D）点是函数的最大值点或最小值点，但不是极值点 答：（ C） 3 要使直线在平面内，则(A) -1, (B) 1, (C) -2 , (D) 3 4 设曲面在点处的切平面为，则点到的距离为 （A） （B） （C） （D） 答：（ B ） 5 若区域D为x2+y2≤2x，则二重积分化成累次积分为 答 (D ) 6 下面级数级数中哪些是收敛的.哪些是绝对收敛,哪些又是条件收敛的(此题可以多选) (A ) (B) (C) (D). 答 (C),(D) 收敛, (C) 条件收敛 ,(D) 绝对收敛 (A) 解 记，则 而发散，故所论级数发散。 (B) 判别级数的敛散性 因, 收敛。 (C)判别级数 的敛散性. 故原级数为交错级数,由莱布尼兹条件 ,从而收敛 (D)讨论级数 绝对收敛与条件收敛性. 记 在且单调减. 则 , 而 故 收敛,即原级数绝对收敛. 三 1设，其中具有一阶连续偏导数，求。 解 2 设由方程所确定，试求， 解：方程两边求微分得 将，代入上式得 故 3 函数由方程所确定，其中有二阶连续偏导数，，求。 解 , , 4 设由方程所确定，其中具有二阶连续偏导数，求。 解 , 四 计算二重积分 其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。 2计算 ，式中L是从O(0，0)沿抛物线段y=x2至A(1，1)再沿直线y=x至O(0，0)的闭路。 解： 5 9 故原式 3 计算曲线积分 ，其中L是以 (0，0)，(1，0)，(1，1) 及(0，1)为顶点的正方形边界正向一周。 4 设L为|x|+|y|=1正向一周，计算 五 1试计算曲线积分 ，其中L是在圆周x2+y2=2x上由点(0，0)到点(1，1)的一段弧。 2 验证花整个xoy平面内存在某函数u(x,y)，使得du=(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy, 并求出这个函数u(x,y). 解 由于， 故是某函数的全微分。 4 7 10 3 计算曲线积分 ，其中L是2x2+3y2=1沿顺时针方向一周。 六.1 计算, cos,cos,cos是球面的内法线向量的方向余弦，a为正数。 解 ∑围成球体Ω，由两类积分关系； 由高斯公式， 2 计算, cos,cos,cos是球面的内法线向量的方向余弦，a为正数。 解 ∑围成球体Ω，由两类积分关系； 由高斯公式， 3 计算其中∑是上半球面 的上侧，R为正数。 解：补上一平面块∑1：z=0, x2+y2≤R2, 取下侧，则有 ∑和∑1围成半球体Ω，用高斯公式 七.1 试求级数的和。 解设幂级数,此幂级数收敛域是 ， 所以当时，有 由于幂级数在上收敛，则 在点处连续，故 2 试求幂级数的收敛域及和函数。 解 级数的收敛域是,当时，有： 八 1求椭球面上距离平面的最近点和最远点。 解 椭球面上点到平面的距离平方 令 4分 由 得驻点 8分 且 因最大值和最小值必定存在，所以所求的最近点为最远点为10分 2 利用拉格朗日乘数法，