戈德菲尔德匡特检验的讨论.doc

2005年中国数量 经济学会年会征文 戈德菲尔德-匡特检验的讨论 张荷观 (江南大学 商学院，江苏 无锡 214063) 摘要：本文通过对G-Q检验的分析，指出了G-Q检验所存在的问题，并提出了解决的方法. 关键词：线性回归模型 异方差 G-Q检验 一、引言 在目前流行的国内外经济计量学教材中，例如Greene(2000)、Gujarati(2000)、贺铿(2000)和高炜宇(2002)等，都把戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验(以下简称G-Q检验)作为异方差检验的主要方法. 并且，近期仍有学者对其进行推广(龚秀芳，2005). 为便于讨论，考虑一元线性回归模型 (1) 并假定模型满足古典假定. 当 (2) 即随机项 不满足等方差的假定时，则称随机项 存在异方差. 若回归模型的随机项存在异方差，不仅回归系数的最小二乘估计不再具有最优性，并且回归系数显著性检验时的t检验也不再适用. 因而，异方差的检验是经济计量学的一个重要内容. 本文通过对G-Q检验的分析，指出了G-Q检验在理论上所存在的问题，同时提出了解决的方法. 二、G-Q检验犯第一类错误的概率与略去的数据c有关 G-Q检验的主要步骤如下: (1) 把解释变量x按从小到大的顺序排列，而被解释变量y保持原对应关系. 略去位于中间的c对数据后，把数据等分为前后两组，分别称为较小组和较大组. 一般取 且使n-c为偶数，即较小组和较大组各包含(n-c)/2对数据. (2) 假定较小组和较大组的随机项都具有等方差，分别记为和. G-Q检验的原假设为 (3) 即假定回归模型(1)满足等方差. 并对较小组和较大组数据分别采用最小二乘法建立样本回归方程，较小组和较大组的残差平方和分别记为和. (3) 用RSS大表示和中的较大者，而用RSS小表示其中的较小者，则G-Q检验统计量为 RSS大/RSS小 (4) 当时，G-Q检验拒绝，认为线性回归模型(1)的随机项存在递增(或递减)异方差. 否则，就认为随机项不存在异方差，即随机项满足等方差. G-Q检验实际上按解释变量的大小把数据划分为三组，可分别称为较小组、中间组和较大组. 并假定各组的随机项满足等方差，若分别用、和表示较小组、中间组和较大组的随机项方差，则G-Q检验的原假设(3)式可改写为 (5) (5)式与(3)式都表示线性回归模型(1)的随机项满足等方差，即(5)式与(3)式等价. 并且，当残差平方和递增时，和就是这三组数据中残差平方和的最小值和最大值，即=RSS小，=RSS大. 于是根据(4)式，当残差平方和递增时有 (6) 即这时的G-Q检验统计量为最大残差平方和与最小残差平方和之比. 特别，当，即三组数据个数都相等时，则(6)式实际上就是哈特利(Hartley)的最大F比检验统计量. 这就是说，当已知残差平方和递增且时，那么G-Q检验统计量和最大F比检验统计量相同. 而根据最大F比检验，当时拒绝，可以认为随机项存在异方差. 否则，就认为随机项不存在异方差，即满足等方差. 根据最大F比检验的临界值表(Sachs 1984)，对于给定的显著性水平，总有. 所以当已知残差平方和递增时，G-Q检验按临界值作检验时，必使G-Q检验犯第一类错误的概率超过规定的显著性水平(当残差平方和递减时可得相同结论). 表1给出了G-Q检验的临界值和最大F比检验的临界值的比较表. 表1 和的比较表 n 30 33 36 42 51 66 96 3.44 6.00 3.18 5.34 2.98 4.85 2.69 4.16 2.40 3.54 2.12 2.95 1.84 2.40 6.03 9.9 5.35 8.5 4.85 7.4 4.16 6.1