概率论与数理统计答案第七章.docVIP

第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。 解：μ，σ2的矩估计是 。 2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1） 其中c0为已知，θ1，θ为未知参数。 （2） 其中θ0，θ为未知参数。 （5）为未知参数。 解：（1），得 （2） （5）E (X) = mp 令mp = ， 解得 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 （解唯一故为极大似然估计量） （2） 。(解唯一)故为极大似然估计量。 （5）， 解得 ，（解唯一）故为极大似然估计量。 4．[四(2)] 设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，=为矩估计量。 （2）极大似然估计， 为极大似然估计量。 （其中 5．[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下 样品中属石灰石的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 观察到石灰石的样品个数 0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0 解：λ的极大似然估计值为==0.499 [四(1)] 设总体X具有分布律 X 1 2 3 Pk θ2 2θ(1－θ) (1－θ) 2 其中θ(0θ1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。 解：（1）求θ的矩估计值 则得到θ的矩估计值为 （2）求θ的最大似然估计值 似然函数 ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ) 求导 得到唯一解为 8．[九(1)] 设总体X ~N（μ，σ 2），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使的无偏估计。 解：由于 = 当。 [十] 设X1，X2， X3， X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量 （1）指出T1，T2， T3哪几个是θ的无偏估计量； （2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。 解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以 E (Xi )= θ, D (Xi )= θ 2, i=1,2,3,4 由数学期望的性质2°，3°有 即T1，T2是θ的无偏估计量 （2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4独立，知 D (T1) D (T2) 所以T2较为有效。 14.[十四] 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N ~（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）（2）若σ为未知。 解：（1）μ的置信度为0.95的置信区间为（）， 计算得 （2）μ的置信度为0.95的置信区间为（），计算得，查表t0.025(8)=2.3060. 16.[十六] 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。 解：σ的置信度为0.95的置信区间为 其中α=0.05, n=9 查表知 19.[十九] 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间。 解：μ1－μ2的置信度为0.99的置信区间为 其中α=0.01，z0.005=2.58, n1=n2=20, 20.[二十] 设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比的置信度为0.95的置信区间。 解：的置信度为0.95的置信区间 = (0.222, 3.601). 其中n1=n2=10，α=0