概率论与数理统计第三章作业题详解.docVIP

第三章习题详解 3.1 解：因为 ， ， 所以 0.0234 3.2 解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1) 且 ， ， 故(X,Y)的概率分布为 X\Y 1 2 2 0 0.6 3 0.4 0 3.3 解：因为，又X的可能取值为0,1,2,3 所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3) 且 ， ， 故(X,Y)的概率分布为 X\Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8 3.4 解：(1)因为 由 ，得9a=1，故a=1/9. (2) (3) 3.5 解：(1)当， 其他情形，由于=0，显然有=0。综合起来，有 (2) 3.6 解： 3.7 解：因为 所以，X的边缘分布为 X 1 3 P 0.75 0.25 因为 ；； 所以，Y的边缘分布为 Y 0 2 5 P 0.20 0.43 0.37 3.8 解：因为，当时，；其他情形，显然 所以，X的边缘分布密度为 又因为，当时， 其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为 3.9 解，积分区域显然为三角形区域，当时，，因此； 其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为 同理，当时，因此 其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为 3.10 解：(1)因为 所以 c = 6 (2) 因为，当时， 所以，X的边缘分布密度为 又因为，当时， 所以，Y的边缘分布密度为 3.11 解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是 X 1 3 Y 0 2 5 P 0.75 0.25 P 0.20 0.43 0.37 (1)当X=1时，Y的条件分布为 即 Y 0 2 5 P 1/5 1/3 7/15 (2)当X=3时，Y的条件分布为 ； ； 即 Y 0 2 5 P 1/5 18/25 2/25 (3)当Y=0时，X的条件分布为 即 X 1 3 P 3/4 1/4 (4)当Y=2时，X的条件分布为 ； 即 X 1 3 P 0.581 0.419 (5)当Y=5时，X的条件分布为 ； 即 X 1 3 P 0.946 0.054 3.12 解：因为 ， 所以(X,Y)的联合密度为 于是 故Y的密度函数为 3.13 解：因为，当时， 又当时， 所以，在Y=y的条件下X的条件分布密度为 在X=x的条件下Y的条件分布密度为 3.14 解: 由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是 X 1 3 Y 0 2 5 P 0.75 0.25 P 0.20 0.43 0.37 0.75, ,而,显然 ,从而X 与Y 不相互独立. 3.15 解：因为 ， ， 要X和Y相互独立， 则； 即 ，得 由，得 即 ，得 3.16 解：由习题3.8，二维随机向量的概率密度函数为 X的边缘分布密度为 ， Y的边缘分布密度为 ， 显然有，X 与Y 相互独立； 由习题3.9,维随机向量的概率密度函数为 ； X的边缘分布密度 ， Y的边缘分布密度为, 显然有，X 与Y 不独立. 3.17 解：因为 对于x0,y0，都有 ,所以，X与Y是相互独立的. 3.18 解：因为 ； 由于 所以，X与Y是相互独立的。 3.19 解：由于X 与Y均服从区间(0, 1) 上的均匀分布，故X 与Y的边缘密度函数分别为： ， 记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为 当时,若，则；若或，被积函数为0， 此时显然有. 当时，若,则，若或，被积函数为0， 此时显然有； 的其他情形,显然有=0. 综合起来，有 此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是, 当时，积分区域要分成两个部分. 3.20 解：记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式, 的概率密度函数可以写为，于是有 3.21 解: 根据书中72页（3.7.1）式,的概率密度函数可以写为 当时,若， 则， 若或，被积函数为0，此时显然有； 当时，若, 则， 若或，被积函数为0，此时显然有； 的其他情形,显然有.综合起来，有 3.22 解：由于所以分布函数为 由于服从参数为的指数分布，所以分布函数为 与相互独立，故的分布函数为 对分布函数求导以后得的密度函数 3.