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武汉艺术生文化课三棱锥的几何问题及多种答案解析 1.【答案】 【解析】 由已知，SABC＝×22sin＝， VP－ABC＝SABC·PA＝××3＝，即三棱锥P－ABC的体积等于. C　【解析】 由三视图可知，该四面体可以描述为SA平面ABC，ABC＝90°，且SA＝AB＝4，BC＝3，所以四面体四个面的面积分别为10,8,6,6，从而面积最大为10，故应选C. 图1－4 B　【解析】 由三视图知该几何体为棱柱，h＝＝，S底＝3×3，所以V＝9. D　【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如下图，故侧视图选D. A　【解析】 可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断正确；可以是放倒的圆柱，所以也正确． A　【解析】 分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V＝2×2×2－π×12×2＝8－π. 6＋π　【解析】 根据图中信息，可得该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体，V＝3×2×1＋π×1×3＝6＋π. 4　【解析】 根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V＝2×1×1＋1×1×2＝4. B　【解析】 由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该该几何体的直观图是B. B　【解析】 对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B. D　【解析】 若面α面β，在面α内与面β的交线不相交的直线平行于平面β，故A正确；B中若α内存在直线垂直平面β，则αβ，与题设矛盾，所以B正确；由面面垂直的性质知选项C正确．由A正确可推出D错误． D　【解析】 圆M的半径为2，由球面的几何性质得OM＝＝2，且OMN＝30°，则ON＝，故圆N的半径为＝，圆N的面积为13π，故选D. 8　【解析】 如图，由题意知，截面圆的直径为＝＝4， 所以四棱锥的高＝＝＝2， 所以其体积V＝S矩形ABCD·＝×6×2×2＝8. 【解答】 解法1：过E作ENAC于N，连结EF. (1)如图，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面A1C， 又底面ABC∩侧面A1C＝AC，且EN底面ABC，所以EN侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影， 在RtCNE中，CN＝CEcos60°＝1， 则由＝＝，得NFAC1. 又AC1A1C，故NFA1C， 由三垂线定理知EFA1C. (2)如图，连结AF，过N作NMAF于M，连结ME， 由(1)知EN侧面A1C，根据三垂线定理得EMAF， 所以EMN是二面角C－AF－E的平面角，即EMN＝θ， 设FAC＝α，则0°α≤45°. 在RtCNE中，NE＝EC·sin60°＝， 在RtAMN中，MN＝AN·sinα＝3sinα， 故tanθ＝＝. 又0°α≤45°，0sinα≤， 故当sinα＝，即当α＝45°时，tanθ达到最小值， tanθ＝×＝，此时F与C1重合． 解法2：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)， E(，3,0)，F(0,4,1)， 于是＝(0，－4,4)，＝(－，1,1)， 则·＝(0，－4,4)·(－，1,1)＝0－4＋4＝0，故EFA1C. (2)设CF＝λ(0λ≤4)，平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，λ)， ＝(，3,0)，＝(0,4，λ)，于是由m，m可得 即取m＝(λ，－λ，4)， 又由直三棱柱的性质可取侧面A1C的一个法向量为n＝(1,0,0)， 于是由θ为锐角可得cosθ＝＝，sinθ＝，所以tanθ＝＝， 由0λ≤4，得≥，即tanθ≥＝， 故当λ＝4，即点F与点C1重合时，tanθ取得最小值. 图1－2 邦德教育 校址：粮道街的湖北美术学院永清艺苑社区内