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江苏省南通市2013届四星级高中期初联考数学试题
1. 已知是虚数单位,复数,则虚部为 ▲ .
2.某地有居民2万户,从中随机抽取200户,调查是否已安装安全救助报警系统,调查结果如下表所示:
外来户 原住户 已安装 60 35 未安装 45 60
则该小区已安装安全救助报警系统的户数估计有 ▲ 户..
3.已知、,,并且 , 为坐标原点,则的最小值为: ▲ 。
4.设满足,则的取值范围是 ▲
5.已知正四面体棱长为1,则其在平面内的投影面积最大值是 ▲ 。
6.平面直角坐标系中,已知、,为原点,等腰底边与轴垂直,,过点的直线与围成的区域有公共点,则直线与的交点保持在该区域内部的概率为: ▲ 。
7.给输入0,输入1,则下列伪代码程序输出的结果为 ▲
8.函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 ▲ .
9.已知,为与中的较小者,设,则=__▲____
10.已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角的范围是,则双曲线离心率的范围是 ▲ .
11.给出下列四个命题中: ①底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
②与不共面的四点距离都相等的平面共有4个。
③正四棱锥侧面为锐角三角形;
④椭圆中,.离心率e趋向于0,则椭圆形状趋向于扁长。
其中所有真命题的序号是 ▲ . .
12.已知函数在区间内,既有极大也有极小值,则实数的取值范围是 ▲ .
13.已知数列中,,对于任意,,若对于任意正整数,在数列中恰有个出现,求= ▲ 。
14.已知函数,,对于均能在区间内找到两个不同的,使,则实数的值是 ▲ .
二、解答题(90分)
15.已知是的三个内角,且满足,设的最大值为.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)当时,求的值.
16、如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为矩形,AB⊥BP,M、N分别为AC、PD的中点.
求证:(1) MN∥平面ABP;
(2) 平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC.
17.某企业在减员增效活动中对部分员工实行强制下岗,规定下岗员工在第一年可领取在职员工收入百分之百,之后每年所领取的比例只有去年的,根据企业规划师预测,减员之后,该企业的利润增加可使得在职员工的收入得到提高,若当年的年收入a万元,之后每年将增长ka万元。
⑴当k=时,到第n年下岗员工可从该企业获得总收入为多少?
⑵某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少,求m的最大值及此时k的取值范围?
18.已知抛物线与椭圆有公共焦点F,且椭圆过点D.
求椭圆方程;
点A、B是椭圆的上下顶点,点C为右顶点,记过点A、B、C的圆为⊙M,过点D作⊙M的切线l,求直线l的方程;
过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q,则直线
PQ是否经过定点,若是,求出该点坐标,若不经过,说明
理由。
19.已知数列是以为公差的等差数列,数列是以为公比的等比数列.
⑴若数列的前项的和为,且,,求整数的值;
⑵在⑴的条件下,试问数列中是否存在一项,使得恰好可以表示为该数列中连续项的和?请说明理由;
⑶若,(其中,且是的约数),求证:数列中每一项都是数列中的项.
20.已知函数,
(1)若对于定义域内的恒成立,求实数的取值范围;
(2)设有两个极值点,且,求证:
(3)设,若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数的取值范围.
一.填空题
1.-1 2. 9500. 3. 4.[2,+∞] 5. 6. 7. 2,4 8. (-∞,-1)∪(1,2)
9. 10.<e<. 11. ② ③ 12. 13. 9 14. 2
二.解答题
15.解:(Ⅰ)由题设及正弦定理知,,即.
由余弦定理知, 2分
. 4分
因为在上单调递减,所以的最大值为. 6分
(Ⅱ)解:设, ①
8分
由(Ⅰ)及题设知. ②
由①2+②2得,. 10分
又因为,
所以,即. 14分
16.证明:(1)连接,由于四边形为矩形,则必过点 (1分)
又点是的中点,则, (2分)
面 面
面 (4分)
(2)充分性:由“BP⊥PC.”“平面ABP⊥平面APC”
,面,面
面 ………………………………(6分)
面 …………………………..(7分)
又
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