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求函数最值常用的方法及经典例题讲解 知识点： 一、函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得． 那么，称M是函数的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有． 二、求函数最大（小）值常用的方法． 案例分析： 例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ① ② ③ ④ 类型一、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例 1、求函数的值域 例2、若函数，则该函数在（1，+∞）上（　　） 在区间[2，6] 上的最大值和最小值． 求函数在[-1，2]上的最小值 3、已知求的取值范围。 类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例： 求函数值域。 实战训练场： 求函数的值域； 函数 类型三、倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例1、求函数的值域。 例2、求函数的值域。 类型四、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一 (二次函数 )。 例、求函数的值域。 实战训练场： 1、的值域； 求 的值域； 类型五、根判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 例1、求的最值 例2、求函数的值域； 例3、已知函数的值域为求常数 实战训练场： （1）求函数 的值域 (2) 求函数的值域 二、类型 解法：用代定系数法将它化为 例1、求 三、 解法：用代定系数法将它化为： 再利用函数的图象和单调性来解。 例1、求的最值 变式训练： 1、求函数 2、函数的最小值？ 类型六、换元法：“ 例1、求函数的值域 例2、求函数的最大值． 练习： 求函数 类型七、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 例1：求函数的值域。 例2、求出下列函数的值域： 1、y= 2、 y= 例 3、求函数的最大值和最小值 例4、求函数的值域。 类型八、 函数单调性法 例1. 求函数的值域。 类型九、一一映射法 原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例1、求函数的值域。 例2、设函数y=|x2-x|+|x+1|，求-2≤x≤2时，y的最大值和最小值． 例3、已知函数求函数的最大值和最小值。 例3、已知求函数的最大值和最小值。 1、求函数的最大值和最小值． 2、求函数 已知直线和点A（-1，2）、B（0，3），试在上找一点P，使得的值最小， 并求出这个最小值。 已知点，，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。 求函数的最小值。 6、求函数的值域。 8、求函数的值域。 9、 求函数的值域。 10、求函数的最小值和最大值。 11、若且满足:则 。 12、若求的最值。 13、设求当为何值，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。 14、已知求的值域。 - 1 -