湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题11.docVIP

习 题 十 一 1．设，证明任何阶图与总有一个是不可平面图。 分析： 与是两个互补的图，根据互补的定义，互补的图有相同的顶点数，且G的边数与的边数之和等于完全图的边数p(p-1)/2；而由推论11.2.2，有任何简单平面图G，其顶点数p和边数q满足：q≤3p-6。 证明. 若与均是可平面图，则 （1） （2） 但 （3） 将（3）代入（2）有 整理后得 又由（1）有 即 也即 . 得 得 此与矛盾。 因此任何阶图与不可能两个都是可平面图，从而与总有一个是不可平面图。 2．证明或否定：两个阶极大简单平面图必同构 分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；两个阶极大简单平面图不一定同构。 解：令，三个6阶极大简单平面图如下： 顶点上标的数字表示该顶点的度，但显然不同构. 3．找出一个8阶简单平面，使得也是平面图. 分析：由第1题证明过程可知，当p11时，和可以同时为平面图。 解：如下平面图G，显然其补图也是平面图。 4．证明或者否定：每个极大平面图是图. 分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；而H图是存在一个H回路的图，即存在一条经过图中每一个顶点一次且仅一次的回路。由定理11.1.2知极大平面图的每个面都是三角形，因此G中必存在回路，利用最长回路的性质使用反证法可证明每个极大平面图都是图。 证明：设是极大平面而不是图.显然必连通且有回路. 设是中最长的回路，由假设， 存在不在上且与上和构 成一个三方形，于是 从而.矛盾，故是图。 5．试证明：若平面图的每个面都是三角形，则是极大平面图。 分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；利用这个定义使用反证法可证明本题。 证明：设平面图的每个面都是，若不是极大平面图.则中存在，使得，且仍为平面图 设是中两个面和的公共边界.于是，中与的面是一个面 ，显然，由此与的每个面都是矛盾. 6．设是有个分支的平面图，试证明： 分析：由欧拉公式任何简单连通平面图均满足,对G的k个连通利用归纳法使用该结论可证明本题。 证明：当时，即欧拉公式，下设，有个分支. .由欧拉公式有pi-qi+ri=2; 但 ， 故 即 7．证明：是平面图，其中e∈E（K5） 分析：由于 的对称性,只须考虑其中的一条边e，验证是可平面图即可. 证明：任选的某条边e，则如下图所示，显然这是一个平面图。 8．证明：是平面图，其中e∈E（K3，3） 分析：仿照第7题，由于的对称性，因此也只须考虑其中的一条边e，验证是可平面图即可. 证明：任选的某条边e，则如下图所示，显然是一个平面图。 9．一个图的围长是图中最短回路之长度，若图中无回路，则围长定义为无穷大。证明：如果G(p,q,r)是连通平面图，围长g≥3且有限，则 q≤g(p-2)/(g-2) 分析：由定理11.1.1 对任何平面图，满足 ，又由于G是简单连通图，因此还满足欧拉公式。利用这两个结论可证明本题。 证明:由于G的围长为g,故d(fi)≥g，由定理11.1.1知： 可以得到 将它代入Euler公式就可以得到q≤g(p-2)/(g-2) 10．利用题9证明Peterson图是不可平面图。 分析：Petersen图参看书上80页的图10.2.，由图可知道，g=5.p=10,q=15比较q和g(p-2)/(g-2)， 将会发现不满足条件q≥g(p-2)/(g-2)，因此Peterson图是不可平面图。 证明： Petersen图中顶点数p=10，边数q=15，围长g=5 g(p-2)/(g-2)=5*（10-2）/（5-2）=40/315=q 不满足9题的结论,所以Peterson图是不可平面图. 11．图11-11是可平面图吗？若是，则请给出平面嵌入，否则说明它是一个包含K5或K3，3的剖分图。 分析：存在一个平面嵌入的图是可平面图，因此利用这个定义如果能找到G的一个平面嵌入，则可以判断这个图是可平面图。再由定理11.3.1一个图是可平面图的充分必要条件是该图不包含一个K5或K3，3的剖分图，利用这个定理如果能找到一个图的K5或K3，3的剖分图，则该图不是可平面图。 解：这四个图均是平面图，其平面嵌入分别如下所示