概率论与数理统计第二章作业题解(初稿).docVIP

作业题解: 2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式. 解： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格知X的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。 并且，；； ；； ；。 即 (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 2.2 设离散型随机变量的概率分布为试确定常数. 解：根据，得，即。 故 2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率： (1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用表示甲乙第一、二次投中，则 两人两次都未投中的概率为：， 两人各投中一次的概率为： 两人各投中两次的概率为：。所以： （1）两人投中次数相同的概率为 (2) 甲比乙投中的次数多的概率为： 2.4 设离散型随机变量的概率分布为，求 解：(1) (2) 2.5 设离散型随机变量的概率分布为，求 解： 2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出 信号, 求下列事件的概率： (1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号. 解：(1) (2) . 2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊 松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ，由题意，，所求事件的概率为. (2) , 由题意，，所求事件的概率为. 2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？ 解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则。 依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即，也即 因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为的泊松分布。 查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。 故应至少配备6名设备维修人员。 2.9 某种元件的寿命X(单位：小时) 的概率密度函数为： 求5 个元件在使用1500 小时后, 恰有2 个元件失效的概率。 解：一个元件使用1500小时失效的概率为 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则。所求的概率为 。 2.10 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦时) 是一连续型随机变量, 概率密度函数为： 假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若每天的供电量上升到90万千瓦时, 每天供电量不足的概率是多少? 解：求每天的供电量仅有80万千瓦时, 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X超过80万千瓦时（亦即X0.8百万千瓦时）的概率： 若每天的供电量上升到90万千瓦时, 每天供电量不足的概率为： 2.11 设随机变量求方程有实根的概率. 解：方程有实根，亦即,显然，当时，方程有实根；又由于所求概率为：。 2.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命X(单位：小时) 服从参数为0.005 的指数分布, 求下列 事件的概率： (1) 发射管寿命不超过100 小时; (2) 发射管的寿命超过300 小时; (3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间. 解：(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率： =0.39 (2) 发射管的寿命超过300 小时的概率： (3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间. 。 2.13 设每人每次打电话的时间(单位：分钟) 服从参数为0.5 的指数分布. 求282人次所打 的电话中, 有两次或两次以上超过10 分钟的概率. 解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为 又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则。 因为n=28