烟台芝罘区数学基本不等式及课堂练习2016高三专题复习-不等式专题.docVIP

基本不等式---求最值的常见技巧 【理论解析】 一个技巧： 逆用就是， 逆用就是等． 两个变形： (1) ,即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数；（当且仅当时取等号） (2) （当且仅当时取等号)． 三个注意 “一正、二定、三相等”的忽视． 【解题方法技巧举例】 1、 添、减项（配常数项） 　　例1 求函数的最小值. 　　 当且仅当，即时,等号成立. 所以的最小值是. 　2、 配系数（乘、除项） 　　例2 已知，且满足，求的最大值. 　　分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 　　而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式. 　　　 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 　3、 裂项 例3已知，求函数的最小值. 　　分析 在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题. 　　 当且仅当，即时，取等号. 　　 所以. 　　4、 取倒数 　例4 已知，求函数的最小值. 　　分析 分母是与的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 　　解 由，得，. 　 当且仅当，即时，取等号. 　　 故的最小值是. 　　5、 平方 　　例5 已知且求的最大值. 　　分析 条件式中的与都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决. 当且仅当，即，时， 等号成立. 　　故的最大值是. 　　评注 本题也可将纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式. 　　6、 换元（整体思想） 　　例6 求函数的最大值. 　　分析 可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. 　　 　　7、 逆用条件 　　例7 已知,则的最小值是（ ） . 　　分析 直接利用均值不等式，只能求的最小值，而无法求的最小值.这时可逆用条件，即由，得，然后展开即可解决问题. 　 评注 若已知 (或其他定值)，要求的最大值，则同样可运用此法. 　　8、 巧组合 　　例8 若且,求的最小值 . 　　分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 9、 消元 例9、设为正实数，，则的最小值. 　　分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 　 【例题解析】 例1 求函数的最值. 解： （1）当时，， 当且仅当即时取等号.所以当时，. （2）当时，， ， .当且仅当，即时取等号，所以当时，. 例2已知，且，求的最小值. 解：， 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， . 例3 当时，求的最大值. 解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可. 当，即时取等号 ，所以当时，的最大值为8. 例4 已知，求函数的最大值. 解析：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，， 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，. 例5 已知，为正实数，且，求的最大值. 解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式.同时还应化简中前面的系数为，.下面将，分别看成两个因式：则， 当且仅当且，即，时，等号成立. 所以的最大值为. 评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题. 【基本不等式课堂练习】 选择题 1.已知，则的最小值是（ ）A．2 B． C．4 D．5 2.当0x时，函数f(x)=的最小值为（ ） A.2 B.2 C.4 D.4 设y=x2+2x+5+，则此函数的最小值为（　　） A．B．2 C． D．以上均不对 4，若，下列不等式恒成立的是（　） A．B．C． D． 5，若且，则下列四个数中最大的是??（???? ） Ａ．　Ｂ．　Ｃ．2ab　　Ｄ．a 6. 设x0,则的最大值为??（　）Ａ．3　Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1????? 7，设的最小值是(????? ) ?A. 10??????B. ???C. ????D. 若x, y是正数，且，则xy有（　） Ａ最大值16 Ｂ．最小值??Ｃ．最小值16　Ｄ．最大值 9. a,b是正数，则三个数的大小顺序是（　） Ａ． Ｂ． Ｃ．　 Ｄ． 下列函数中最小值为4的是( ) Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋