理学院数学专业2013级10班郑斯人：数学的文化特征.docVIP

《数学文化》结课论文 专业班级 理科实验班12-4 姓 名 邹辰炜 学 号 题目：数学悖论与三次数学危机 姓名：邹辰炜 单位：中国石油大学（华东）理学院理科实验班12-4班 摘 要 由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。由此引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。ABSTRACT Because of the strictness is recognized as a main characteristics of mathematics, mathematics so paradox in will cause people to doubt the reliability of mathematics. The common sense of people a sense of crisis. In this case, often leads to a paradox of mathematics crisis, in the history of development of mathematics has three such mathematical crisis. This paper mainly through three times of crisis in the history of mathematics in the production and elimination of paradox, produced by the three mathematical crisis in their understanding of the three causes of the crisis: the first mathematical crisis is misunderstanding on all is number; the second mathematical crisis is one of the infinitely small misunderstanding; third mathematical crises history is the discovery of Russell paradox. Mathematicians in order to explore the causes of the crisis and problem solving approach, unremitting discussed in mathematical logic, put forward a series of solutions, and imperceptibly greatly promoted the development of mathematics and logic. Key words: mathematical crisis; Everything has its number; An infinitesimal. Analysis method; Group. 前 言 “……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。” ——N·布尔巴基 什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。 数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了；第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，是通过无穷趋近而确定某一结果；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机中的悖论问题，并给出了自己对这三次危机的看法。 一、希帕索斯悖论与第一次数学危机 第一次数学危机是发生在公元前580～568年之间的古希腊。毕达哥拉斯是古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表