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2015年数学建模全国一等奖论文
太阳影子定位
摘要
太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化,来确定物体所在
的时间和地理位置。本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系,采用几何关
系及 MATLAB 软件编程等方法,对所给问题分别给出了数学模型及处理方案。
对于问题一,根据题目要求,首先确定影响影子长度的各个因素 (竿长,纬
度,时间,日期),然后再根据几何知识确定它们之间的数学关系,建立相关的
数学模型。再运用 MATLAB 进行编程及绘出影长与各个变化因素的变化曲线图。
对于问题二,根据题目可知,在时间点、日期、影子坐标已知的条件下,需
要求出所测点的地理位置,即经纬度。我们根据问题一的相关结论,做出合理的
假设。根据附件 1 中所给点求出影长,用 MATLAB 软件拟合出所求点的影长与当
地时间的关系曲线,确定各个影长所对应的当地时间,找到对应的北京时间。得
到所求地与北京的时间差,即可用时间差和经度的关系求得当地的经度。在此问
题求解中,我们运用相关公式校准坐标系,分析各个公式之间的相互转换,计算
出题目所求地点的纬度。从而,确定当地的位置。
对于问题三,给定时间与影子的坐标,确定日期及地理位置。经度的确定与
问题二中求得经度的方法一样。对于纬度的求解,则是运用相关因素之间的公式,
转换变化得出日期与纬度之间的关系。再用 MATLAB 软件对变量(纬度)进行穷
举,得到最优解,得出所求纬度,确定具体的地理位置。
对于问题四,用 MATLAB 软件分析视频,将视频处理成图片。同样,用时间
差来求出经度,并用公式算得纬度,以此来确定所测物的位置及日期。
最后,我们对于所建立的数学模型的优缺点做出了评价
关键词: matlab 影子变化 经纬度 三角变换 坐标矫正
1
一.问题重述
1.1 背景
确定视频的拍摄地点和拍摄 日期是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期的一
种方法。
1.2 需要解决的问题
问题一:建立影子长度变化与各个参数的数学模型,并应用此模型解答给定
条件(2015 年 10 月 22 日北京时间9:00-15:00 之间天安门广场(北纬 39 度 54
分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒)3 米高的直杆)的影子变化曲线。
问题二:根据固定直杆在水平地面上的影子端点坐标,建立数学模型确定所
处地点。依据此数学模型确定所给的影子顶点坐标数据的若干个可能地点。
问题三:在前一问基础上,若不给出日期,建立模型求解地点以及日期。依
据此模型确定所给条件的地点及日期。
问题四:给出一根杆的影子视频,并且已知杆长 2m,建立模型确定拍摄地点。
拓 展:建立模型确定拍摄地点及日期。
二.问题分析
这属于竿影日照数学问题。把竿顶影子端点坐标移动的轨迹,近似看成太阳
的运行轨迹。运用时角,赤纬角,太阳高度角以及太阳方位角的角度关系进行推
导。
2.1 问题一
影子的长度变化和时间、纬度、日期的变化存在某种数学关系,因为有三个
变量,在已知物体长度的情况下,我们要建立影子和单个因素的关系,所以必须
先固定其中两个变量进而得出影子长度和另一变量的函数关系。在计算给定条件
影子长度变化规律时,只需带入相应数学模型即可得到要求所需。
2.2 问题二
当给定影子端点坐标时,由于建立的坐标系是随机的,所以必须先矫正成标
准的坐标系,由于大致可认为影子的端点坐标连线是太阳的运动轨迹反方向,在
此情况下就可以矫正坐标系。要确定地点,一定要知道经纬度,计算经度时,可
2
以通过时差和经度差的关系进行求解。计算纬度时,可以利用第一问的数学模型
反过来求解。
2.3 问题三
本题在上一题的基础上,要求解日期。同样,此题坐标是也不是标准的,也
要进行矫正。经度的算法可以参照问题二,但是纬度的计算时没有日期,使得模
型里有两个变量,不能直接求解。由于只有一个方程,所以不能直接求解两个未
知
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