反射定律和折射定律的证明.pdf

由费马原理证明光的折射定律和反射定律。 证明： 首先证明反射定律：设在下图中A为光源，B为接收器，其坐标分 别为A（x ,0,z ）、B（x,0,z ）。设反射面放在z=0处，P（x,y,0）为光 1 1 2 2 线与反射面相接触的点。 根据勾股定理，光线APB的总长度为： z A(x1,0,z)1 B(x ,0,z) R1+R2 2 2 R2 2 2 2 2 2 2 z x +x − y + z + x +x −( y1 +) 1 ( 2 ) 2 R1 O y x 根据费马原理，P点应在使光线的光程 反射面 P(x,y,0) 为极值的位置，微积分上即是求： ∂ ∂ ( n R )=+R0 ( n R )=+R0 1 2 1 2 ∂y ∂x 将R +R 代入上面第一式，得： 1 2 ∂ y y ( )=+ ( )=+ 0 n R R n 1 2 ∂y 1 R2 R 上式若成立，只有当y=0 ，这就意味着反射发生在垂直于反射面的平面内， 入射线、法线、反射线在同一平面内。 将R +R 代入上页第二式，得： 1 2 ∂ x x − x x − ( ) =+ ( 1 + ) 2 0 n R R n 1 2 ∂x R R 1 2 z B x x − x x − A 1 2 sin i sin i 1 1 R R i1 I’1 1 2 R1 R2