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反射定律和折射定律的证明
由费马原理证明光的折射定律和反射定律。
证明： 首先证明反射定律：设在下图中A为光源，B为接收器，其坐标分
别为A（x ,0,z ）、B（x,0,z ）。设反射面放在z=0处，P（x,y,0）为光
1 1 2 2
线与反射面相接触的点。
根据勾股定理，光线APB的总长度为：
z
A(x1,0,z)1 B(x ,0,z) R1+R2
2 2
R2 2 2 2 2 2 2
z x +x − y + z + x +x −( y1 +) 1 ( 2 ) 2
R1 O y x 根据费马原理，P点应在使光线的光程
反射面 P(x,y,0) 为极值的位置，微积分上即是求：
∂ ∂
( n R )=+R0 ( n R )=+R0
1 2 1 2
∂y ∂x
将R +R 代入上面第一式，得：
1 2
∂ y y
( )=+ ( )=+ 0
n R R n
1 2
∂y 1 R2 R
上式若成立，只有当y=0 ，这就意味着反射发生在垂直于反射面的平面内，
入射线、法线、反射线在同一平面内。
将R +R 代入上页第二式，得：
1 2
∂ x x − x x −
( ) =+ ( 1 + ) 2 0
n R R n
1 2
∂x R R
1 2
z
B x x − x x −
A 1 2
sin i sin i
1 1
R R
i1 I’1 1 2
R1 R2
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