直线与圆的一组切线问题的再研究及对圆的包络问题的认识.doc

数学研究性学习案例与反思 —— 直线与圆的一组切线问题的再研究和对圆的包络问题的认识 在平面解析几何中，有这样一道经典习题：已知圆方程为，求过圆上一点的圆的切线方程。本题一直倍受高中数学教师的亲睐，一来可以通过一题多解有效的提升学生的数学思维品质，二来可以通过对各种解题方法的比较来体会向量法在研究中学数学中的工具性作用。笔者去年任教高二时也已和学生一起探究过这个问题，但笔者始终坚持一个观点：如果第二次上同样的内容一定要上出新意来，一定要让学生有新的收获。在经过自己的独立思考和教研组的集体磨课后，在全校开设了一节高三数学研究性学习的复习课，得到了教研组和学生的一致好评和认可。现将本课的课堂教学实录与同行交流探讨。 1 课堂实录 师：今天我们一起来研究一个问题，这个问题大家都很熟悉：已知圆方程为，求过圆上一点的圆的切线方程，有一个要求，先从基本方法入手研究，而后再思考有没有其他解法。 生1：研究圆的切线问题的基本方法是斜率法。 师：运用斜率法研究解析几何问题需要注意什么？ 生1：考虑斜率是否存在。 师：很好，请你上黑板板书。 生1板书内容： （i）当时，，，则切线方程为：，变形可得：； （ii）当时，此时，当时，此时切线方程为，满足 当时，此时切线方程为，也满足方程； 同理可知：当时，切线方程也满足 所以切线方程为 师：生1给出了很规范的解答过程，值得大家学习。生1利用了在圆上一点的切线的一个重要性质，利用性质解决了这个问题，其他同学有没有其他处理手段？ 生2：可以利用直线与圆相切的代数方法研究。当直线斜率存在时，设直线方程为 而后将直线方程与圆方程联立成方程组，消元转化为的一元二次方程，利用可求出切线斜率为，下面的步骤和生1一样。 生3：还可以考虑直线与圆相切的几何方法，当直线斜率存在时，设直线方程为 根据点到直线距离等于半径，也可以求出，以下和生1一样。 师：很好！同学们对基本方法掌握的还是相当娴熟，好，接着请大家思考其他方法。 生4：可以利用向量法研究。设切线上任意一点坐标为，仍然利用过圆上一点的切下的重要性质可得，坐标运算后马上就能得到切线方程。 师：很好！通过两种方法的比较，大家可以体会向量法作为一个工具在高中数学中起着举足轻重的作用，用向量法研究垂直关系有其独特的优越性，可以避免对斜率的分类讨论，从而大大简化计算和推导过程。事实上我们有很多结论是利用向量法得到的，能否再举出几例？ 生5：正、余弦定理、射影定理。 生6：两角和与差的余弦公式。 师：（追问生6）具体是怎么推导的？能否补充说明？ 生6迟疑片刻，生7：向量的数量积分别从定义和坐标运算两个角度建立等量关系，是算两次的思想。 师：不错，看来同学们的数学素养还是很高的！好，我们再转换一个思路和视角，能否从切线的定义和生成方式出发给出本题的新解法？思考一下切线是如何生成的？切线斜率是如何生成的？ 生4：用割线逼近切线的方法生成的切线，切线斜率也是通过割线斜率逼近得到的。 师：生4，你上黑板尝试一下。 生4板书内容：设曲线上有异于的一点，则割线的斜率为，当， 时，此时…… （生4写到此处不知道如何接着处理） 师：既然这个极限不好研究，能不能换个方法表示这条割线的斜率，回想在解析几何中已知弦与圆锥曲线的两个交点坐标还可以怎么求弦的斜率？ 生4恍然大悟：由点差法，，相减可得：， 所以，当，时，（）， 切线方程为，当时检验可知切线方程也满足。 师：不错！也许在大家看来定义法求切线没有向量法优越，老师引入定义法求切线主要是基于三点考虑：第一，数学解题有时候真会走入“穷途末路”，什么技巧、什么方法都行不通，那么这个时候我们不妨回到问题的起点，回归问题的本源，返璞归真，往往会找到解决问题的方法；第二，在运算过程中如果直接用两点表示割线斜率我们发现不容易求极限值，这里利用点差法将斜率换了一种形式表示；第三，运算过程始终抓住江苏省高考解析几何提出的“整体运算”的思想和方法。如果把问题的圆变的特殊一点，圆心不在坐标原点，结论如何呢？问题变为：已知圆方程为，求过圆上一点的圆的切线方程。 生8：利用向量法很容易得到结论。 师：如果把圆的方程变成一般式方程，问题变成：已知圆方程为，求过圆上 一点的圆的切线方程，又该如何解决？ 生9：可以利用化归思想，先将圆的一般式方程化为标准方程，然后利用结论直接获得，我求出来是 师：给定的圆的方程是一般形式的，能否将所求切线方程也变成一般式？ 生9：化简后可得 师：很好，生9在研究过程中运用了化归的数学思想方法，化归是高中数学中的重要数学思想方法，在江苏高考中也是偶有考察，