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离散数学Part1_数理逻辑部分
将下列命题符号化。P48
豆沙包是由面粉和红小豆做成的.
苹果树和梨树都是落叶乔木.
王小红或李大明是物理组成员.
王小红或李大明中的一人是物理组成员.
由于交通阻塞，他迟到了.
如果交通不阻塞，他就不会迟到.
他没迟到，所以交通没阻塞.
除非交通阻塞，否则他不会迟到.
他迟到当且仅当交通阻塞.
分清复合命题与简单命题
分清相容或与排斥或
分清必要与充分条件及必要充分条件
答案：（1）是简单命题 （2）是合取式
（3）是析取式（相容或） （4）是析取式（排斥或）
请分别写出（1）—（4）的符号化形式
设p: 交通阻塞，q: 他迟到
p?q, （6）?p??q或q?p
（7）?q??p 或p?q, （8）q?p或?p??q
（9）p?q 或?p??q
可见（5）与（7），（6）与（8）相同（等值）?r??(q?p)
((p?q) ?(?q??p)) ?r
(p?q) ?(p?r)
按层次写真值表，由最后一列判类型
答案：（1）为矛盾式，（2）为重言式，（3）为可满足式
例 用等值演算法判断下列公式的类型 P59
（1）q??(p?q)
（2）(p?q)?(?q??p)
（3）((p?q)?(p??q))?r)
解（1）q??(p?q)
? q??(?p?q) （蕴涵等值式）
? q?(p??q) （德摩根律）
? p?(q??q) （交换律，结合律）
? p?0 （矛盾律）
? 0 （零律）
由最后一步可知，（1）为矛盾式.
（2）(p?q)?(?q??p)
? (?p?q)?(q??p) （蕴涵等值式）
? (?p?q)?(?p?q) （交换律）
? 1
由最后一步可知，（2）为重言式.
问：最后一步为什么等值于1？
说明：（2）的演算步骤可长可短，以上演算最省.
（3）((p?q)?(p??q))?r)
? (p?(q??q))?r （分配律）
? p?1?r （排中律）
? p?r （同一律）
由最后一步可知，（3）不是矛盾式，也不是重言式，它是可满足式，其实101, 111是成真赋值，000, 010等是成假赋值.
总结：从此例可看出
A为矛盾式当且仅当A ? 0
A为重言式当且仅当A ? 1
例 求公式 A=(p??q)?r的主析取范式与主合取范式. P71
（1）求主析取范式
(p??q)?r
? (p?q)?r （析取范式） ①
(p?q)
? (p?q)?(?r?r)
? (p?q??r)?(p?q?r)
? m6?m7 ②
r
? (?p?p)?(?q?q)?r
? (?p??q?r)?(?p?q?r)?(p??q?r)?(p?q?r)
? m1?m3?m5?m7 ③
②, ③代入①并排序，得
(p??q)?r ? m1?m3?m5? m6?m7 （主析取范式）
（2）求A的主合取范式
(p??q)?r
? (p?r)?(q?r) （合取范式） ①
p?r
? p?(q??q)?r
? (p?q?r)?(p??q?r)
? M0?M2 ②
q?r
? (p??p)?q?r
? (p?q?r)?(?p?q?r)
? M0?M4 ③
②, ③代入①并排序，得
(p??q)?r ? M0?M2?M4 （主合取范式
设A与B均为含n个命题变项的公式，判断下列命题是否为真？ P85
A?B当且仅当A与B有相同的主析取范式
若A为重言式，则A的主合取范式为0
若A为矛盾式，则A的主析取范式为1
任何公式都能等值地化成{?, ?}中的公式
任何公式都能等值地化成{?, ?, ?}中的公式
（1）为真，这是显然的
（2）为假. 注意, 任何公式与它的主范式是等值的，显然重言式不能与0等值。重言式的主合取范式不含极大项，因而主合取范式为1.
（3）的分析类似于（2），矛盾式的主合取范式为0.
（4）为假，因为{?, ?}不是完备集，比如矛盾
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