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第4章 习题解答
4.1 A:⑤; B:③; C:①; D:⑧; E:⑩
4.2 A:②; B:③; C:⑤; D:⑩; E:⑦
4.3 A:②; B:⑦; C:⑤; D:⑧; E:④
分析 题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。先根据题意将关系表示成集合表达式,然后再进行相应的计算或解答,例如,题4.1中的
而题4.2中的
为得到题4.3中的R须求解方程,最终得到
求有三种方法,即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法
将的元素列出来,如图4.3所示。然后检查R的每个有序对,若,则从中的x到中的y画一个箭头。若中的x经过2步有向路径到达中的y,则。由图4.3可知
如果求,则将对应于G中的有序对的箭头画在左边,而将对应于F中的有序对的箭头画在右边。对应的三个集合分别为,然后,同样地寻找到的2步长的有向路径即可。
2° 矩阵方法
若M是R的关系矩阵,则的关系矩阵就是M·M,也可记作M2,在计算乘积时的相加不是普通加法,而是逻辑加,即0+0=0,0+1=1+0=1+1=1,根据已知条件得
中含有7个1,说明中含有7个有序对。
图4.3 图4.4
3°关系图方法
设G是R的关系图。为求的关系图,无将G的结点复制到中,然后依次检查G的每个结点。如果结点x到y有一条n步长的路径,就在中从x到y加一条有向边。当所有的结点检查完毕,就得到图。以题4.2为例。图4.4(1)表示R的关系图G。依次检查结点1,2,3,4。从1出发,沿环走2步仍回到1,所以,中有过1的环。从1出发,经1,1和1,4,2步可达4,所以,中有从1到4的边。结点1检查完毕。类似地检查其他3个结点,2步长的路径还有2→1→1,2→1→4,3→4→1,4→1→1,4→1→4。将这些路径对应的边也加到中,最终得到的关系图。这个图给在图4.4(2).
4.4 A:④; B:⑧; C:⑨; D:⑤; E:⑩
分析 根据表4.1中关系图的特征来判定的性质,如表4.2所示。
表4.2
自反 反自反 对称 反对称 传递 √
√
√
√
√
√
√
√
√
√ 从表中可知和不是传递的,理上如下:在中有边3,1和1,2,但缺少边3,2.在中有边1,3和3,2,但缺少边1,2。在中有边1,2和2,1,但缺少过1的环。
4.5 A:①; B:③; C:⑧; D:⑨; E:⑤
分析 等价关系和划分是两个不同的概念,有着不同的表示方法,等价关系是有序对的集合,而划分是子集的集合,切不可混淆起来,但是对于给定的集合A,A上的等价关系R和A的划分中一一对应的,这种对应的含义是
和y在的同一划分块里。
换句话说,等价说系R的等价类就是划分的划分块,它们表示了对A中元素的同一种分类方式。
给定划分,求对应的等价关系R的方法和步骤说明如下:
1°设中含有两个以上元素的划分块有块,记作。若,,则求出。
2°
本题中的的划分块都是单元集,没有含有个以上元素的划分块,所以,含有两个划分块,故对应地等价关系含有两个等价类。中只有一个划分块包含了集合中的全体元素,这说明因此,这个划分块对应的关系就上的全域关系,从而得到也是上的全域关系。
4.6 A:③; B:⑩; C:⑤; D:⑩; E:⑤
分析 画哈斯图的关键在于确定结点的层次和元素间的盖住关系,下面讨论一下画图的基本步骤和应该注意的问题。
画图的基本步骤是:
1° 确定偏序集中的极小元,并将这些极小元放在哈斯图的最底层,记为第0层。
2° 若第n层的元素已确定完毕,从A中剩余的元素中选取至少能盖住第n层中一个元素的元素,将这些元素放在哈斯图的第n+1层。在排列第n+1层结点的位置时,注意把盖住较多元素的结点放在中间,将只盖住一个元素的结点放在两边,以减少连线的交叉。
3° 将相邻两层的结点根据盖住关系进行连线。
以本题的偏序集为例,1可以整除S中的全体整数,故1是最小元,也是唯一的极小元应该放在第0层。是1的倍数,即2,3,5,7,S中剩下的元素是4,6,8,9,10。哪些应该放在第2层呢?根据盖住关系,应该是4,6,9和10。因为4盖住,2,6盖住2和3,9盖住3,10盖住2和5. 8不盖住2,3,5,7中的任何一个元素,最后只剩下一个8放在第3层。图4.5给出了最终得到的哈斯图。在整除关系的哈斯图中,盖住关系体现为最小的倍数或最小的公倍数关系。
如果偏序集是,那么哈斯图的结构将呈现出十分规则的形式。第0层是空集,第1层是所有的单元集,第2层是所有的2元子集,…,直到最高层的集合A。这里的盖住关系就体现为包含关系。
在画哈斯图时应该注意下面几个问题。
1°哈斯图中不应该出现三角形,如果出现三角形,一定是盖住关系没有找对。纠正的方法是重新考察这3
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