空间向量和立体几何专题复习.doc

【学案十一】 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系：如图，是单位正方体。以O为原点，分别是射线OA，OC，的方向为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长度，建立三条数轴：轴，轴，轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O。点O叫做坐标原点，轴，轴，轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面。其中： 平面是坐标形如（x,y,0）的点构成的集合； 平面是坐标形如的点构成的集合； 平面是坐标形如的点构成的集合； 轴是坐标形如的点构成的集合； 轴是坐标形如的点构成的集合； 轴是坐标形如的点构成的集合。 空间任意一点M与三个有序实数组（点的坐标）之间，建立起一一对应关系。 这个有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（）。 其中叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。 写出下列各点的坐标：O，A， B，C，， ，，。 例1、如图，正方体的棱长为 E、F、G、H、M、N分别是棱，， ，，，的中点， 写出正六边形EFGHMN各顶点的坐标。 E（0，，），F（，0，），G（，0，） H（，，0），M（，，0），N（0，，） 例2、已知正三角形ABC的两个顶点的坐标分别为A（0，0，0），B（0，2，0） 它的第三个顶点C在坐标平面上，则顶点C的坐标是 。 答案：（，1，0），（-，1，0），（0，1，），（0，1，-）。 二、在空间直角坐标系中，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点的坐标如下： 点P关于原点对称的对称点是P1； 点P关于横轴（x轴）对称的对称点是P2； 点P关于纵轴（y轴）对称的对称点是P3； 点P关于竖轴（z轴）对称的对称点是P4； 点P关于平面对称的对称点是P5； 点P关于平面对称的对称点是P6； 点P关于平面对称的对称点是P7。 三、已知空间两点，，则： （1）线段的中点坐标公式：。 （2）空间两点间的距离公式：。 特别地：空间任意一点到原点O的距离为：。 例3、如图，正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个 几何体的顶点，则这个几何体的棱长为。 （例3图） （例4图） 例4、如图，正方体的棱长为，， ，则的长为。 例5、以A（4，1，9），B（10，－1，6），C（2，4，3）为顶点的 三角形是 等腰直角 三角形。 四、练习： （1）点A（0，1，3）及点B（0，－5，0）在空间直角坐标系的位置都比较特殊， 点A在上，点B在上。 （2）点M（－1，5，－2）关于平面的对称点是 （1，5，-2） 。 （3）点M（3，－1，2）关于轴对称的点的坐标是 （3，1，-2） 。 （4）点A（2，－3，1）关于坐标原点对称的点的坐标是 （-2，3，-1） 。 （5）点M（－2，1，2）在轴上的投影点为 （-2，0，0） 。 （6）点A（－1，2，1）在平面上的投影点为 （-1，0，1） 。 （7）点M（3，－4，2）到平面上的距离是 2 。 （8）点A（2，－1，5）到轴的距离等于。 （9）已知，两点， 当取最小值时，的值为。 （10）轴上到点M（3，5，7）与点N（6，0，1）距离相等 的点的坐标是。 （11）已知三角形三个顶点A（2，0，0），B（2，3，5），C（0，0，5）， 则过点B的中线长为。 （Ⅱ）空间向量与立体几何 一、在空间，具有 和 的量叫做空间向量。空间向量用 表示。 有向线段的长度表示向量的 或 。 二、零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、共面向量： 零 向 量 长度为 的向量叫做零向量。零向量的方向是 。 单位向量 模为 的向量叫做单位向量。 共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。记作。 零向量与任意向量平行(共线)； 任一组平行向量都可以移动到同一条直线上。 相等向量 且 的向量叫做相等向量，记作。 向量可根据需要 。在空间，两个长度相等且指向一致的 有向线段表示同一个向量或相等向量。 相反向量 与长度 ，方向 的向量，叫做的相反向量。 零向量的相反向量是 向量； 任一向量与其相反向量的和是 向量。 共面向量 的向量，叫做共面向量。 空间任意两个向量总是 的； 空间任意三个向量 。 空间任意两个向量都可以平移到 内，成为同一平 面内的两个向量，因此，空间向量也是自由向量。 三、空间向量的线性运算： 1、空间向量的加法、减法运算：空间向量的加减运算类似于平面向量的加减运算， 同样遵循法则和法则。 说明：①空间向量的加法运算满