立体几何空间位置关系系统复习.doc

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 自主探究学习 能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理. 1.平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等. 2.如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） 3.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 4.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 5.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 6. 公理2的三条推论： ①推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； ②推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 名师要点解析 要点导学 1. 点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作. 2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下： 公理1 公理2 公理3 图形语言 文字语言 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言 3.公的作用 （1）公理1作用：判断直线是否在平面内； （2）公理2作用：确定一个平面的依据； （3）公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.【经典例题】 【例】在正方体中.（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线. 【分析】利用公理1、公理2、公理3及公理2的推论来判定. 【解】（1）在正方体中， ∵， ∴由公理2的推论可知，与可确定平面， ∴与在同一平面内. （2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面， ∴ 点在同一平面内. （3）∵，， ∴点平面，平面， 又平面，平面， ∴ 平面平面， 同理平面平面 【点拨】确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和3个推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对公理及推论的作用，应清楚明白. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 自主探究学习 了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直. 1.两条直线的三种位置关系 （1）相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； （2）平行直线：同一平面内，没有公共点； （3）异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点. 2. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 名师要点解析 要点导学 1. 空间两条直线的位置关系： 2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算. 3. 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据. 【经典例题】 【例1】判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）平行于同一直线的两条直线平行 （ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行 （ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条 （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 （ ）【分析】依据公理4、异面直线所成角的定义及等角定理进行判断. 【解】（1）（ √ ）；（2）（ × ）；（3）（ √ ）；（4）（ × ）；（5）（ × ）；（6）（ √ ）. 【点拨】注