竞赛讲座28代数式的变形(整式与分式).doc

竞赛讲座28 －代数式的变形（整式与分式）在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.??1．??配方??在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.??例1??????????（1986年全国初中竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.??解mn=(a2+b2)(c2+d2)??=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd??=(ac+bd)2+(ad-bc)2??=(ac-bd)2+(ad+bc)2,??所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.??例2（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且??(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2??=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.??求的值.??解??将条件化简成??2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0??(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0??∴x=y=z,∴原式=1.??2.因式分解??前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.??例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求??的值.??解??a为x2-3x+1=0的根,???a2-3a+1=0,,且=1.??原式??说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.??3.换元??换元使复杂的问题变得简洁明了.??例4?设a+b+c=3m,求证:??(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.??证明?令p=m-a,q=m-b,r=m-c则??p+q+r=0.??P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0??∴p3+q3+r3-3pqr=0??即??(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0??例5?(民主德国竞赛试题)?若,试比较A、B的大小.??解?设?则??.??∵2x＞y?????2x-y＞0,?又y＞0,??可知?A＞B.??4.设参??当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.??例6?若求x+y+z的值.??解??令??则有???x=k(a-b),?y=(b-c)k?z=(c-a)k,??∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.??例7?已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,??,求a+b+c的值.??解??设?a+b+c=k??则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.??由条件知??即??????∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,??∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.??∵a2+b2+c2=1,??∴k=a3+b3+c3-3abc??=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc??=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),??=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),??∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),??∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,??∴k(-ab-bc-ac)=0.??若K=0,?就是a+b+c=0.??若-ab-bc-ac=0,??即?(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,??∴(a+b+c)2=1,??∴a+b+c=±1??综上知a+b+c=0或a+b+c=±1??5.“拆”、“并”和通分??下面重点介绍分式的变形：??（1）?分离分式?为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.??例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数皆不可约.,??证明?如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.??而?????????显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.??（2）?表示成部分分式?将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.??例9?设n为正整数，求证：????①?②???证明??令??通分，??比较、两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.????令k=1,2,…,n得??????(3)通分??通分是