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平几习题集解答 第一章习题 练习1（面积法） 1． 已知：点E、F分别在平行四边形ABCD的边DC和BC上，且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足。求证：DG=BH。 证明：连DF、BE，那么 所以 。 但AF=AE，于是BH=DG。 2. 设AD为ΔABC的中线，F为AD的中点，连结BF并延长交AC于E。 求证：EC=2AE。 证明：因为BD=DC，AF=FD，故 。 3．已知平行四边形ABCD中，E、F分别在CD、AD上，AE和CF相交于G，且AE=CF。求证：GB平分∠AGC。 证明：连BE、BF，则 。 另一方面， 所以 sin∠BGC=sin∠AGB，即∠BGC=∠AGB。所以BG平分∠AGC。 4．P是ΔABC中∠A的平分线上任意一点。过C引CE//PB，交AB的延长线于E，过B引BF//PC，交AC的延长线于F。求证：BE=CF。 证明：如图， ， 故 所以BE=CF。 5．E、F是任意四边形ABCD的对边AD、BC的中点，M为对角线BD延长线上任一点。若直线ME、MF分别与AB、CD相交于P、Q两点。求证：EF平分PQ。 证明：由P、E、M共线，得，故。 由F、Q、M共线，得，故。 所以 。 因为AE=ED，BF=FC，所以PN=NQ。 6．AD是ΔABC的中线，过B点的直线交AD于E，交AC于F。求证：。 证明：因为CD=DB，所以 。 7．P是平行四边形ABCD对角线BD上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F。求证：PE ：PF = BC ：AB。 证明：因为ABCD是平行四边形，故 。 另一方面，由PE⊥AB，PF⊥BC，知 ，所以 。 8．ΔABC中，∠ACB=900，AC=BC，D为BC中点。作CE⊥AD，分别交AB、AD于E、F。求证：AE=2BE。 证明：因 为CD=BD，故 。 另一方面，AC⊥CD，CF⊥AD，故ΔAFC∽ΔCFD。所以 。 故AE=2EB。 9．已知：在ΔABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF是AC边上的高。求证：PD+PE=BF。 证明：连AP，那么由 ， 得 AC·BF=AB·PD+AC·PE。 又因为AB=AC，所以PD+PE=BF。 10．设O是ΔABC内任一点，AO、BO、CO的延长线分别交对边于D、E、F。求证： 。 证明：如图， 11．设线段OA的中点为M，过A的任意直线与过O的任意（位于OA的两侧）的两直线分别相交于P、Q，Q在线段AP上，PM与OQ交于R，QM与OP交于S。求证：。 证明：因为M是OA的中点，故根据平行四边形PNRQ的调和性知NQ//OA。同理，PT//OA。于是 所以 。 12．在ΔABC的边AB、AC上分别取点D、E，使DE//BC，在AB上取点F，使。求证：AD2=AB·BF。 证明：因为 SΔADE=SΔBFC，2SΔADE=AD·DEsin∠ADE， 2SΔBFC=BF·BCsin∠B， 所以 AD·DEsin∠ADE=BF·BCsin∠B。 由因为 DE//BC，所以∠ADE=∠B，，所以 ，即 AD2=AB·BF。 13．AD是RtΔABC的斜边BC上的高，E是CB的延长线上一点，且∠EAB=∠BAD。求证：。 证明：AB⊥AC，AB平分∠DAE，所以 。 另一方面，ΔAEB∽ΔCEA。所以 。 所以 。 14．过平行四边形ABCD的顶点A引直线交BD于P，交DC于Q，交BC的延长线于R。求证：。 证明：因为AD//BC, AB//CD，所以ΔPQD∽ΔPAB。 从而 。 15．已知：AT与ΔABC的外接圆相切于A，与CB的延长线交于T。求证：。 证明：因为TA是切线，所以ΔTAB∽ΔTCA，所以 。 练习2（代数法） 1. 在锐角ΔABC中，AD、CE是两条高，交点为H，且AD=BC，M是BC边的中点。求证：MH+DH是BC的一半。 证明：设AD=BC=2x，MD=y。易知ΔCDH∽ΔADB，从而有 ， 即有 （1） 。 又由勾股定理得 ，即 （2）。 （1）+（2）得 。 所以 。 2. ΔABC为等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上。求证：ΔDEF的周长≥ΔABC的周长之半。 证明：如图，设ΔABC的边长为a，AF=x,，BD=y,，CE=z，EF在BC边上的投影为MN，那么 同理，。。 所以 。所以ΔDEF的周长≥ΔABC的周长之半。 3. 已知a、b、c和a′, b′, c′分别为ΔABC和ΔA′B′C′的三边，且 对于任意实数x都为定值。求证：ΔABC∽ΔA′B′