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第二讲 相关分析与回归分析
第一节 相关分析
1.1 变量的相关性
1.变量的相关性分两种,一种是研究两个变量X与Y的相关性。本节只研究前者,即两个变量之间的相关性;。
2.两个变量X与Y的相关性研究,是探讨这两个变量之间的关系密切到什么程度,能否给出一个定量的指标。这个问题的难处在于“关系”二字,从数学角度看,两个变量X、Y之间的关系具有无限的可能性,一个比较现实的想法是:确立一种“样板”关系,然后把X、Y的实际关系与“样板”关系比较,看它们“像”到了什么程度,给出一个定量指标。
3.取什么关系做“样板”关系?线性关系。这是一种单调递增或递减的关系,在现实生活中广为应用;另外,现实世界中大量的变量服从正态分布,对这些变量而言,可以用线性关系或准线性关系构建它们之间的联系。
1.2 相关性度量
1.概率论中用相关系数(correlation coefficient)度量两个变量的相关程度。
为区别以下出现的样本相关系数,有时也把这里定义的相关系数称为总体相关系数。可见相关系数是判断变量间线性关系的重要指标。
2.样本相关系数
我们也只能根据这个容量为n的样本来判断变量X和Y的相关性达到怎样的程度。
这个估计称为样本相关系数,或Pearson相关系数。它能够根据样本观察值计算出两个变量相关系数的估计值。
和总体相关系数一样,如果,称X和Y不相关。这时它们没有线性关系。
多数情况下,样本相关系数取区间(?1, 1)中的一个值。相关系数的绝对值越大,表明X和Y之间存在的关系越接近线性关系。
1.3 相关性检验
两个变量X和Y之间的相关性检验是对原假设
H0:Corr(X,Y) = 0
的显著性进行检验。检验类型为t。如果H0显著,则X和Y之间没有线性关系。
1.4 计算样本相关系数Correlate\Bivariate
例1 数据data02,计算变量当前薪金、起始薪金、受教育年限和工作经验之间的样本相关系数。
打开Correlate\Bivariate对话框,将变量salary、salbegin、educ和prevexp输入Variables,点击OK,即得表格:
表格中的Pearson Correlation指样本相关系数,例如起始薪金与受教育年限的相关系数为0.633;Sig.为相关性检验结果,起始薪金与受教育年限的相关性检验结果为Sig.=0.000,在0.05和0.01的水平下,都能否定它们不相关的假设。N为观察值个数。
1.5 偏相关系数
1.控制变量 以上在计算变量X和Y的相关系数时,并没有考虑有其他变量的影响。例如:计算当前薪金(salary)与起始薪金(salbegin)的相关系数得0.890,但是当前薪金显然还受到受教育年限(educ)的影响,这个影响在计算相关系数时没有被扣除,因此0.890这个数字不完全真实。如扣除educ的影响,在计算salary和salbegin的相关系数,就更接近真实了。这个被扣除的变量就叫控制变量,这里educ便是控制变量。控制变量可以不止一个。
2.偏相关系数 扣除控制变量影响后得到的相关系数称为偏相关系数(partial correlation),计算命令为:Correlate\Partial.
例2 数据data02,计算当前薪金与起始薪金在扣除受教育年限影响后的偏相关系数。
在Partial Correlations对话框中,将变量salary、salbegin输入Variables,将变量educ输入Controlling for,然后OK,得:
其中Corrlation指偏相关系数,df自由度,Significance是对原假设H0:pCorr(X,Y)=0检验结果得到的水平值。可见:偏相关系数值等于0.795;不能接受不相关的假设。
第二节 线性回归方程
2.1 一元线性回归方程
1.相关分析是以线性关系为“样板”,讨论变量X和Y的相关程度,这一程度用相关系数表示。我们不禁要问:这个“样板”是什么?也就是把这个做“样板”的线性表达式:
给出来,这也就相当于把系数b0和b1估计出来。这样,变量X和Y的关系就可以表示成为:
其中?为误差,是一个随机变量。显然,相关系数绝对值越大,误差?在表达式中占的比重就越小,也就是线性部分占的比重越大,这就有可能用线性表达式(1)近似表达变量X和Y的关系。称线性表达式(1)为变量Y对于X的(一元线性)回归方程。
回归分析的主要任务是回答:
1)回归方程(1)能否近似代表变量X和Y的关系。这实际是对线性部分与误差部分各占比重的估量;
2)怎样估计回归方程(1),也就是怎样估计参数b0和b1。
显然,在任务2)完成前,任务1)无从开始。
2.回归的
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