第4课时最大值与最小值问题(教师版)选修2-2北师大版.doc

第4课时 最大值与最小值问题 一、学习目标：必有最大值和最小值的充分条件. 3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤. 二、学习重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 三、学习难点：的一个区间内，若在任意一点的函数值都不大于点的函数值，即，则称为极大值点，为函数的极大值. （2）在含的一个区间内，若在任意一点的函数值都不小于点的函数值，即，则称为极小值点，为函数的极小值. （3）求可导函数极值点步骤： ①求出导数；②求的解；③对每一个解，判断左右两侧符号.1）在的两侧“左正右负”，则为极大值点；2）在的两侧“左负右正”， 则为极小值点. 2.新课学习：学习课本P66例4前内容，然后填空. (1)对于在上任意一个自变量，总存在 若总成立，则是上最大值; 若总成立，则是上最小值. (2)函数最值与极值的区别与联系： ⑴函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域或整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念； ⑵函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值； ⑶在求可导函数最大值时，应先求出函数的极大值点，然后将函数的所有极大值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大的值即为函数的最大值，在实际问题中，一般可以通过函数的单调性和问题的实际意义确定最大值。函数的最小值也有相同的求法。 ⑷函数极值点与最值点没有必然联系，极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得。 3.学习课本P66例4、例5、例6. 然后填空： 最值的求法：求连续函数在上的最值的一般步骤： 1）求在上的极值. 2）将的各极值与函数在区间端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小一个为最小值. 对于实际问题，其关键是建立函数模型，因此首先要审清题意，明确变量与常量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题，要关注自变量的取值范围. 4.试求函数在区间上的最大值与最小值． 解：先求导数，得令＝0即解得.导数的正负以及，如下表 X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4 最大值：13，最小值：4 例2 已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是3，若存在，求出，若不存在，说明理由. 解：设g(x)=∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数 ∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴ ∴ 解得经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件. 例3.求下列函数的最值. 1. 2. 3. 七、能力提升： 1．设为常数，求函数在区间上的最大值和最小值。 2.设，（1）求函数的单调递增，递减区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围。 3．已知函数，（1）当，求函数的最小值； （2）若对于任意恒成立，试求实数的取值范围。 4．当时，函数恒大于正数，试求函数的最小值。 答案： 1．（1）若在区间上，当时，有最大值；当时，有最小值0。（2）当，在区间上，当时，有最大值；当时，有最小值0. 2．（1）递增区间为和，递减区间为；（2）. 3．（1）（2）. 4．当时，. 3