第7章平面解析几何§7.1向量和直线方程.doc

第七章 平面解析几何 在初中学习阶段，你已经学过平面几何，也知道了坐标的概念，并且应用坐标来研究了一些基本初等函数的图象；在第五章还介绍了函数图象的移位缩放作图法，使你能在坐标系中作出不少函数的图象．应该说所有这些，主要是为反映和研究函数的性质服务．坐标系本来是一个几何概念，你会觉得对它的本家――平面几何反而没有尽到服务的责任，这似乎有点说不过去． 事实上，在数学发展的历史上，笛卡儿引入直角坐标系后，最早也是用于研究几何学上的一些问题．本章的主要内容，可以弥补你的缺憾――应用坐标来研究平面几何中的一些基本问题． 平面几何中所研究的主要对象是两类，一类是直线及由线段构成的多边形，如三角形、平行四边形梯形等等；另一类则是曲线，如圆等．这些仍然是本章所研究的主要对象；在曲线方面，范围还会扩充到与圆密切相关的椭圆、双曲线、抛物线． 在研究方法方面，当然不会完全重复平面几何中的一套，特别在直线及多边形方面，我们将用向量的观点及相关方法来考察它们的性质和关系． §7.1 向量和直线方程 预备知识 ?平面直角坐标系及坐标的概念 重点 ?坐标系的基底和向量的概念 ?向量的坐标 ?各种形式的直线方程及其求法 难点 ?对向量的理解 ?在不同条件下，以不同形式写出直线方程 学习要求 ?理解向量和向量坐标的概念，会在直角坐标系中作 出已知坐标的向量 ?已知起终点坐标，会熟练地写出向量的坐标 ?理解向量在确定直线中的作用 ?熟记点向式、点斜式、斜截式直线方程，并能在不同已知条件下 应用它们得到直线方程 ?掌握一般式直线方程及其与其它形式直线方程的转化 ?理解用二元一次不等式(组)表示的平面区域 几何中除了单个的点或有限个点之外，由无限个点组成的点的集合，最简单的莫过于直线了，本节就从这个最简单的集合——直线讲起．我们要解决两个基本问题：如何确定一条直线；确定的直线在一个坐标系中如何表示．从确定直线的原始想法出发，要引进一种全新的量——向量；为了在一个坐标系中表示直线，还要知道向量的坐标．有了这两者，几乎所有有关直线的问题就都能得到解决了． 1. 解析几何概述 什么是解析几何？它与平面几何的根本区别在哪里？为什么要学习解析几何？你在开始学习本章之前，也许已经在考虑这些问题了． (1)什么是解析几何 平面几何是研究形及其数量特性的，所谓形，无非是由直线构成的多边形(如三角形、平行四边形)或圆；所谓数量特性，是指线段的长度、圆或多边形的面积等等．在平面几何中，告诉了你三角形的三个顶点A,B,C，三角形是完全被确定了的，但你却求不出面积来，这是因为在平面几何中对最基本的几何元素――点，没有赋予任何数字特性，因此无法用数来表示点的位置，在平面上给了三点，除了三个黑点之外，什么都没有，要你求面积，当然是勉为其难了． 若在平面上建立了坐标系，情况就不同了，说给定三点，就得确实给出它们的信息――它们的位置，即它们的坐标．有了坐标，你就能知道每条边的长度，还能知道某条边上的高(这些正是本节和下一节要学习的内容)，面积就可以求出来了．点的位置、即点的坐标是一对有序数，因此可以说，建立坐标系后，把点这个几何中最基本的元素，赋予了数字特性．凭借这一点，继而可以把点集(包括直线、曲线)数字化，这就是所谓的直线方程、曲线方程；再继而，我们可以把它们之间的相关关系予以数字化，例如两直线垂直有什么数字特征等；最后，我们还能用函数关系去研究它们的性质．因此可以说，把平面几何数字化就是解析几何，也可以说，解析几何是研究几何元素和几何形的数字特征的一门学科．名词“解析”的来由，是因为在坐标系下讨论几何的形，几乎都要用方程来表示，而正如你在第五章中所看到的，方程往往是坐标变量的解析式． (2)为什么要学习解析几何 把几何学数字化成为解析几何之后，明显带来两大好处． 首先它能把几何元或形之间的关系数字化，精确表示出不同几何元和形之间的位置关系．例如三点是否共线？在平面几何中去验证是很难的，在解析几何中只要验证这三点是否同时满足一个直线方程；又例如过圆外一点，向圆引切线，在平面几何中只能凭肉眼观察，再作得精确，到显微镜下去看一看，还可能有偏差；在解析几何中就不同了，有了坐标，就能有圆和过已知点的直线的方程，要相切，根据第五章中求曲线交点的方法，只要联立这两个方程且仅有一个解就行了，这样我们可以精确地算出切点的坐标，理论上来讲，偏差已经不存在了． 其次，在计算机日益普及的今天，大量图形都通过计算机处理和存储；然而计算机只能处理数字，因此必须把图形数字化．以计算机存储图形来说，不外两种方式．一种是全息存储，例如把一张彩色照片存放到计算机内，扫描仪会把彩照划分成极细密的格子(一般一平