第一次数学建模论文(3组王庭).doc

摘要 通过染色的切片断面来了解生物组织、器官等的形态,即探讨血管的三维重建问题。根据100张平行切片图像计算血管的中轴线与半径，并绘制血管在三个坐标平面上的投影。 对于问题1：将所给的图片通过matlab软件将其转换成Logical矩阵M(x)，从中提取切片截面轮廓点构成新的矩阵M(x)’,利用matlab中函数bwmorph找到图片的骨架,利用find函数分别找到界面轮廓点的坐标Ai(x,y)和图片骨架上的点的坐标Bk（x,y）统计半径和圆心坐标值。利用两点求最小距离就是最大内切圆半径R即血管半径r,对所有半径并求均值就是管道半径r0= 29.5296。 对于问题2：假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是以最大内切圆半径为球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成,由100张切片的最大内切圆圆心坐标拟合得出中轴线方程 以及其在三个坐标平面内的投影曲线方程: 中轴线在XY平面投影曲线的拟合方程 y=0.0007x2+0.0678x+162.8409 中轴线在YZ平面投影曲线的拟合方程 z=0.0022y4-0.0778y3+1.3699y2-7.7910y+13.2144 中轴线在ZX平面投影曲线的拟合方程 z=0.0022x2+0.0927x+65.5738 最后,在假设条件下，误差允许的范围内拟合绘制出血管在三个坐标平面上的投影图进行模型结果的检验，进行切片拟合与题设中的对应截面进行内点个数对比。我们定义两张切片所共同拥有的内点个数与原切片内点个数的比值为重合度。计算得到平均重合度xxxx 关键字 :切片 matlab软件 拟合 三维模型重建 结果检验 1.问题重述 通过染色体的切片断面来了解生物组织、器官等的形态.将样本染色后切成厚约1? m的切片，通过显微镜获得用切片机连续不断切成数十、成百的平行切片图片.根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。 假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。 现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图，属于血管三维重建问题。 2.问题分析 根据题目整个管道是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。 基于几何原理可以得出以下两条定理 (1)球的任意截面都是圆。 (2)经过球心的球截面是所有的截面圆当中半径最大的圆。 基于上述两个定理可以得出:每张切片的最大内切圆的圆心位于血管的中轴线上，该圆的半径等于血管半径R。 分别求出100张切片轮廓线的最大内切圆圆心C(x，y)与半径r。对所有最大内切圆的圆心C(x，y)做拟合，即可求出血管的中轴线f(x)。为减少误差，我们用累加求和再求均值的方法得到平均血管半径r0。根据拟合出的中轴线方程，即可求出中轴线f(x)在XY、YZ、ZX平面上的投影。 问题的理论分析与预测模型 3.模型假设与符号说明 3.1模型的假设 (1) 假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。 (2) 管道中轴线与每张切片有且只有一个交点。 (3) 假设血管的半径固定不变。 (4) 假设在对切片拍照的过程中不存在误差。 (5) 假设血管均匀，不存在严重扭曲。 3.2符号说明 i.bmp 指第i张原始图片 M(x) 通过matlab软件将其转换成Logical矩阵 M(x)’ 从中提取切片截面轮廓点构成新的矩阵 Ck 表示第k张切片的最大内切圆圆心 rk 表示第k个切片截面的最大内切圆半径,即血管半径 r0 表示所以血管半径求得的均值即管道半径 X、Y、Z 分别表示坐标轴的xyz轴 f(x) 表示中轴线 4.建模与问题求解 4.1模型的建立 4.1.1求血管的半径ro （1）将已知的资料图片转化为有效的数组矩阵M(x)’。利用matlan软件将已知的bmp格式图片转化为数学语言，即三维的0-1矩阵M(x)512x512x1009（0表示黑色，1表示白色）,再用matlab中的edge函数从中提取切片截面轮廓点构成新的矩阵M(x)’。 （2）根据矩阵M(x)’求取