第一章概率基础复习.doc

应用概率统计 贵州大学理学院 周国利教授 第一章 概率基础 自2004年概率统计部份章节下放到高中数学教程以来，高考的文理科应用类题型已连续10年出现概率统计题，2004年，2005年，2012年，三年考题为古典概型题。涉及到的知识点为和事件、差事件、积事件、对立事件及事件的独立性等，求设备在某时段内出故障的概率及该时段内至少有一台设备出故障的概率，比赛中甲胜或乙胜的概率，考生基本能掌握，全省文理科平均分在2分到4分之间。2006年，2007年，2009年为产品的抽样检验题型，涉及到的知识点为分层抽样的方法，概率的计算，成品接收和拒收的概率，随机变量分布列，离散型数学期望和方差，二项分布～。考生对该类题型掌握较好，全省平均分在2.5分到6分之间。2008年及2011年为保险公司新险种的最低保费及参加甲、乙两种保险的概率问题，由于题目新颖和已知条件多，考生理解不了题意，全省平均分不到2分。2010年题目为电路分析的可靠性问题，题型较新颖，涉及到难度较大的对立事件和部份物理知识，全省文科平均分为1.3分，理科平均分为2.6分。2013年考题涉及到商品的需求量和供给量建立利润的函数关系分段表达式，并求出随机变量函数的分布列及数学期望，难度不大但题目较新全省文科平均分为1.38分，理科平均分为2.82分，2014年考题为统计题，涉及到回归方程、中位数等的分析。 由于大学教学的内容与高中教学的内容有交叉重复部份，如何对这部份的内容进行讲授和要求值得讨论及研究。针对高中教学的应试性及高考试题的综合性，应用性，创新性和广泛性，建议大学教学及研究生教学过程中，对部份精典题如2006年的产品抽验、接收及拒收的题目；2008年保险公司的最低保费问题；2010年的电路分析可靠性问题；2013年的利润分段函数关系及期望利润问题等等，以补充和完善高中数学学生掌握知识点的不足及充分体现大学教学的全面性及综合性。 例1、（2005年考题）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响 . 已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125 . 求（1）甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少？ 计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率. 解 （1）设、、分别表示机器甲、乙、丙在这个小时内需要照顾的事件，依题意，事件、、相互独立，且 ，， 解上述方程组得 ，，， (2) 或： 该题看似简单，但却有一定的综合性，涉及的知识点较多，有一定的实用价值，望多关注这种类型。 例2、（2006年考题)某批产品成箱包装，每箱5件. 一用户在购进这批产品前先提取3箱，再从每箱中任取2件产品进行检验. 设取出的第一、二、三箱分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品. （1）用表示抽检6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望； （2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率. 解：（1）可能的取值为 0，1，2，3 . 由于第一箱中没有二等品，故计算时可不考虑第一箱，则 ， ， ， . 0 1 2 3 所以的分布列 ，。 所求的概率为 该题是产品抽样的一个综合应用，考生求分布列有一定的困难，尤其是第一箱可排除，学生没有及时分析出，故该题得分率低，望注意其类型。 例3、 （2008年考题）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 解：设投保的10000人中出险的人数为，则服从二项分布。 （1）由题意至少有一人出险的概率为，其对立事件 ， （2）的数学期望（平均出险的人数）， 即， 设表该保险险种的盈利， 则 ， 由题意 ，则有，即每个投保人应缴纳最低保险费为15元 （本题有一定应用背景，为精算师必备知识）。 例4、（2010年考题）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为,,,,电流能通过,,的概率都是，电流能通过的概率为0.9，电流能否通过各元件相互独立，已知,,中至少有一个能通过电流的概率为0.999。 （1）求； （2）求电流能在M与N之间通过的概率； （3）表示,,,中能通过电流的元件个数，求的期望. 解：设表示电流通过元件的事件，（可