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7-10 用细绝缘线弯成的半圆形环,半径为,其上均匀地带正电荷,求圆心点处的电场强度。
解:如图所示,设。在半圆形环上任取一电荷元,在圆心处的电场强度的大小为
方向如图所示。式中
由电荷的对称分布可知,圆心点处的电场强度沿轴正方向。有
7-12 一半径为的半球面均匀带电,电荷面密度为,求球心处的电场强度。
解:如图所示,图中圆环对轴对称,所带电量为,圆环半径为,环心在轴处。
根据带电圆环轴线上的电场强度(见课本260页公式(7-11))
作相应的代换,,,,
可得到细圆环在点的电场强度为
通过积分,得到球心处的电场强度为
指向正方向。
7-17 在半径分别为10 cm和20 cm的两层假想同心球面中间,均匀分布着电荷体密度为的正电荷。求离球心5 cm、15 cm和50 cm处的电场强度。
解:以和分别表示均匀带电球壳的内、外半径。
(1)设离球心处的电场强度为,在以为半径的高斯球面上,的大小应该相同,并处处与的法线方向平行。对运用高斯定理,有
所以,离球心5 cm处的电场强度。
(2)以为半径作高斯球面,设上各点的电场强度为,对运用高斯定理,有
式中是所围的电荷量
所以,离球心15 cm处的电场强度的大小为
的方向与的法线方向一致,即沿径向向外。
(3)以为半径作高斯球面,带电球壳在内,对运用高斯定理,有
所以,离球心50 cm处的电场强度的大小为
的方向与的法线方向一致,即沿径向向外。
7-18 一个半径为的球体内的电荷体密度为,式中是径向距离,是常量。求空间的电场强度分布,并画出对的关系曲线。
解:
(1)在球体内作半径为的同心高斯球面,设上的电场强度为,对运用高斯定理,有
式中是所围的电荷量
所以,在球体内离球心处的电场强度为
(2)在球体外作半径为的同心高斯球面,设上的电场强度为,对运用高斯定理,有
包围了整个球体
所以,在球体外离球心处的电场强度为
(3)关系曲线如图所示。
7-21 半径为的无限长直圆柱体内均匀带电,电荷体密度为,求电场强度分布,并作曲线。
解:在圆柱体内,以为半径作高为的同轴闭合圆柱面,对运用高斯定理,有
圆柱内,离轴线处的电场强度大小为
在圆柱体外,以为半径作高为的同轴闭合圆柱面,对运用高斯定理,有
圆柱内,离轴线处的电场强度大小为
曲线如图所示。时,的方向沿径向向外。
7-26 两个同心球面,半径分别为10 cm和30 cm。小球面均匀带有正电荷,大球面带有正电荷。求离球心分别为20 cm和50 cm处的电势。
解法一:设两球面半径分别为、,带电、,由高斯定理可求得电场分布为
处的电势为
处的电势为
解法二:由各球面电势的叠加计算电势
,位于两球面之间,电势为小球面电荷在处的电势和大球面电势的代数和。即
,位于两球面外,电势为两球面在处的电势。即
7-27 电荷均匀分布在半径为的球体内,试证离球心处的电势为
解法一:均匀带电球体的电场强度具有球对称性,设球体内和球体外的电场强度分别为和,由高斯定理
可以求得和。式中
球内的场强为
球外的场强为
球体内处的电势为
解法二:以为半径作球面,将带电球体分割为半径为的球体和厚度为的球壳两部分,则处的电势为这两部分带电体的电势和的代数和,即。
是半径为的球体表面的电势,
这里
是厚度为带电球壳在其内表面的电势。由于带电球面内的电势与表面的相同,将球壳分割为无数厚度为的薄球壳,则处在每个薄球壳的内部。每个薄球壳所带的电量为
电势为
所以,
直接计算这种做法是错误的!
7-32 一半径的圆盘,其上均匀带有面密度为的电荷,求:
(1)轴线上任一点的电势表达式(用该点与盘心的距离及表示)(2)从电场强度和电势的关系求电场强度距离盘心处的。()
解 (1)在圆盘上以盘心为圆心,取半径为r,宽为dr的细圆环,所带电荷量为
在轴线上x处的电势为:
整个圆盘上x处的电势为
(2)轴线上x处的电场强度为
带入数据,得处
7-36 点电荷,处在导体球壳的中心,壳的内外半径分别为和,求:(1)导体球壳的电势;(2)离球心处的电势;(3)把点电荷移开球心1.0 cm后球心点的电势及导体球壳的电势。
解:利用高斯定理可以得到静电平衡时各区域的电场分布为
(1)导体球壳的电势
(2)离球心处的电势
(3)把点电荷移开球心1.0cm,仍然在导体球壳内部。导体球壳外表面的电荷分布没有变化,故球壳电势与第一问相同,仍为120V。
球心点处的电势由叠加原理得
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