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第三章：多维随机变量及其分布习题 一、“多维离散型随机变量”习题： 1. 盒子中有3个黑球、2个红球和2个白球，任取4个球，以表示取得的黑球数，表示取得的红球数，求与的联合分布列. 2. 一个整数n等可能地在1~10这十个数中取一值，令表示能整除n的正整数的个数；表示能整除n的素数的个数；求与的联合分布列. 3. 设随机变量的分布列为，且满足，求. 4. 设随机变量的分布列为，； 且；求：（1）联合分布列； （2）是否相互独立？为什么？ 5. 设随机变量与相互独立且有相同的分布，， ； 求 . 6. 某图书馆一天的读者人数~，一读者借书的概率为p，各读者借书与否是相互独立的，设一天读者借书的人数为，求与的联合分布列. 二、“多维连续型随机变量”习题： 1. 设二维随机变量的联合密度函数为； 求：（1）=？ （2）. 2. 设二维随机变量的联合密度函数为； 求边际密度函数. 3. 设二维随机变量的联合密度函数为； 求：（1）c=？ （2）边际密度函数. 4. 设与相互独立，且 ； 求：（1）联合密度函数； （2）. 5. 设是密度函数，为使成为密度函数，必须而且只须满足什么条件？ 6. 设二维随机变量的联合密度函数为 ； 求：（1）的联合分布函数； （2）边际密度函数. 7. 设二维随机变量的联合密度函数为， 求：取值于椭圆内的概率. 8. 设是分布函数，是相应的密度函数，证明：对任何， 是联合密度函数，且以为其边际密度函数. 9. 设的联合分布函数 ； 求：二维随机变量的联合密度函数. 三、“随机变量的独立性”习题： 1. 设与相互独立，服从（0，1）上的均匀分布，的密度函数为 ； 求：（1）联合密度函数； （2）二次方程有实根的概率. 2. 设二维随机变量的联合密度函数为； 求：（1）=？ （2）边际密度函数； （3）； （4）讨论与的独立性. 3. （1）设二维随机变量的联合密度函数为 ；则与是否相互独立？ （2）设二维随机变量的联合密度函数为 ；则与是否相互独立？ 4. 设二维随机变量的联合密度函数为； 求：（1）边际密度函数； （2）条件密度函数； （3）与是否相互独立？ 5. 设与相互独立，密度函数分别为 其中为常数，引入随机变量； 求：（1）条件密度函数； （2）的分布列和分布函数. 6. 设随机变量以概率1取值0，而是任何随机变量，证明：与相互独立.