第三讲动态几何问题.doc

中考数学重难点专题讲座 第3讲 动态几何问题 主备：卢勇 第一部分 真题精讲 【例1】（2010，密云，一模） 如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）． （1）当时，求的值； （2）试探究：为何值时，为等腰三角形． 【解析】 解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形． ∵，． ∴．∴． ∴ ．解得． （）分三种情况讨论： ① 当时，如图②作交于，则有即． ∵， ∴， ∴，解得． ② 当时，如图③，过作于H． 则， ∴． ∴． ③ 当时， 则． ． 综上所述，当、或时，为等腰三角形．ABC中，∠ACB=45o．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示） 【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】： （1）结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：AB=AC ，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90o， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD． 【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CF⊥BD．(1)中结论成立． 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD 【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x， 易证△AQD∽△DCP，∴ ， ∴， ． ②点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． 过A作交CB延长线于点G， 则． CF⊥BD， △AQD∽△DCP，∴ ， ∴， ． 【例3】（2010，怀柔，一模） 已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形． （1）求证：梯形是等腰梯形； （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式； （3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由． 是等边三角形 ∴ ∵是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴梯形是等腰梯形． （2）解：在等边中， ∴ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： 为直角三角形 ∵ ∴当取最小值时， ∴是的中点，而 ∴ ∴ 以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题. 【例4】2010，门头沟，一模 已知正方形中，为上一点，过点作交于，连接，为中点，连接． 与的数量关系； （2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，．（1）中的结论是否？． 1中绕点旋转任意角度，如