第十章弹性力学空间问题.doc

第十章 弹性力学空间问题 知识点 空间柱坐标系 空间轴对称问题的基本方程 空间球对称问题的基本方程 布西内斯科解 分布载荷作用区域外的沉陷 弹性球体变形分析 热应力的弹性力学分析方法 坝体热应力 质点的运动速度与瞬时应力 膨胀波与畸变波 柱坐标基本方程 球坐标的基本方程 位移表示的平衡微分方程 乐普位移函数 载荷作用区域内的沉陷 球体接触压力分析 受热厚壁管道 弹性应力波及波动方程 应力波的相向运动 一内容介绍 对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。 本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。 本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。 另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。 二重点 1空间极坐标和球坐标问题；2布希涅斯克问题；3半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4弹性波；5热应力。 学习思路: 对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。 例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。 本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基本方程。 学习要点： 1；2；3。 在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间一点M 的位置坐标用（?，?，z）表示。直角坐标与柱坐标的关系为：x =? cos ? ， y =? sin ??， z = z 柱坐标下的位移分量为： u?， u??，?w 柱坐标下的应力分量为： ?? ???，?z???，???z，?z? 柱坐标下的应变分量为： ?? ???，?z???，???z，?z? 以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。 2、柱坐标基本方程 1、平衡微分方程 2几何方程 3物理方程 其中 3、空间轴对称问题的基本方程 对于轴对称问题，即物体的几何形状，边界条件和约束条件等外界因素均对称于某一坐标轴，例如 z 轴时，则根据变形的对称性，有 根据几何方程，则，而根据本构方程，则。其余应变分量和应力分量仅是坐标? ,z的函数，而与坐标??无关。因此，基本方程可以简化为 1平衡微分方程 2几何方程 3本构方程 学习思路: 对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关，但是坐标系的选择与问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。 对于球体、特别是球对称问题，采用球坐标求解将更为方便。这些问题如果应用直角坐标问题可能得不到解答。 本节讨论空间球坐标系的基本方程表达形式。对于空间球对称问题的基本方程表达形式作专门的探讨。 学习要点： 1；2在球坐标系下，空间一点M的位置是用3个坐标（R，?，?）表示。直角坐标与球坐标的关系为 如果分别采用表示坐标下的位移分量；采用 和分别表示坐标下的应力和应变分量。则它们应该满足下列方程，有 1、平衡微分方程 2几何方程 3物理方程 对于球对称问题，也就是说物体的几何形状，约束条件，外力和其他外界因素都对称于某一点（例如坐标原点）。 由于变形的对称性，则。根据几何方程和本构方程，则 和 ，其余的应变分量和应力分量也仅是坐标R 的函数，而与坐标?，??无关。而且 。因此基本方程可以简化为 如果将球对称位移代入平衡微分方程，则球对称条件下的位移表示的平衡微分方程为 学习思路: 1885年，布西内斯科（Boussinesq.J.V）首先求解了半无限平面受法向集中力作用的问题，因此该问题称为布西内斯科问题。 这一问题的求解是弹性力学最有理论价值的结论之一。 布西内斯科问题的求解对于地基应力、基础沉陷和弹性力学接触等领域的研究工作具有重要的应用价值，为相关学科的理论研究奠定了基础。 根据结构分析，问题是空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。求解方法采用位移法，求解步骤为： 1建立位移表示的平衡微分方程。 2引入乐甫（love）位移函