简单几何体习题精选精讲.doc

简单几何体 （1）棱柱——最常见的多面体 空间直线与平面的只研究位置关系，没有大小和形状的研究；而具体的几何体除位置关系外，还有大小和形状的区别. 几何体按形状分两大类：一是由平面围成的多面体，如正方体；二是由曲面围成的旋转体，如球. 棱柱是常见的多面体，它有两个本质属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行. 棱柱在高考中是常考的一种载体，除考查空间线面关系（空间角和距离）外，还有面积、体积计算问题的考查. 【例1】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC， D、E分别为BB1、AC1的中点． （Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线； （Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小． 【解析1】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO， 则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB， EOBD为平行四边形，ED∥OB． ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO ? 面ABC， 故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线． （Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形， ∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和ED?平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角． 不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝， tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． 【解析2】（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点． 设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)． 则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ＝（0，b，0），＝(0，0，2c)． ·＝0，∴ED⊥BB1． 又＝(－2a，0，2c)， ·＝0，∴ED⊥AC1， 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线． （Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)， ＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)， ·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面A1AD． 又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)， ＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)， ·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E， ∴　　EC⊥面C1AD． cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． （2）棱锥——最简单的多面体 棱锥是一种简单的多面体，它有两个主要特征：①有一个形状是多边形的底面；②其他各面是有一个公共顶点的三角形，这些三角形是棱锥的侧面. 三棱锥是最简单的棱锥，也是最简单的多面体（四面体），多面体的研究往往归结到三棱锥来，正像多边形的研究要归结到三角形一样. 三棱锥常成为多面体考题的载体. 故有人说，考多面体说到底是在考三棱锥. 【例2】 （I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （III）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。 【解析】解（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥． 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底． （II）依上面剪拼方法，有． 推理如下： 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为．现在计算它们的高： ，． 所以． （III）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱． （3）球——与正多面