简单几何体习题精选精讲.doc

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简单几何体 (1)棱柱——最常见的多面体 空间直线与平面的只研究位置关系,没有大小和形状的研究;而具体的几何体除位置关系外,还有大小和形状的区别. 几何体按形状分两大类:一是由平面围成的多面体,如正方体;二是由曲面围成的旋转体,如球. 棱柱是常见的多面体,它有两个本质属性:①有两个面(底面)互相平行;②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行. 棱柱在高考中是常考的一种载体,除考查空间线面关系(空间角和距离)外,还有面积、体积计算问题的考查. 【例1】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC, D、E分别为BB1、AC1的中点. (Ⅰ)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线; (Ⅱ)设AA1=AC=AB,求二面角A1-AD-C1的大小. 【解析1】(Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO, 则EOC1C,又C1CB1B,所以EODB, EOBD为平行四边形,ED∥OB. ∵AB=BC,∴BO⊥AC, 又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO ? 面ABC, 故BO⊥平面ACC1A1, ∴ED⊥平面ACC1A1,BD⊥AC1,ED⊥CC1, ∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线. (Ⅱ)连接A1E,由AA1=AC=AB可知,A1ACC1为正方形, ∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和ED?平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1,∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角. 不妨设AA1=2,则AC=2,AB=ED=OB=1,EF==, tan∠A1FE=,∴∠A1FE=60°. 所以二面角A1-AD-C1为60°. 【解析2】(Ⅰ)如图,建立直角坐标系O-xyz,其中原点O为AC的中点. 设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c). 则C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c). =(0,b,0),=(0,0,2c). ·=0,∴ED⊥BB1. 又=(-2a,0,2c), ·=0,∴ED⊥AC1, 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线. (Ⅱ)不妨设A(1,0,0),则B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2), =(-1,-1,0),=(-1,1,0),=(0,0,2), ·=0,·=0,即BC⊥AB,BC⊥AA1,又AB∩AA1=A, ∴BC⊥平面A1AD. 又  E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1), =(-1,0,-1),=(-1,0,1),=(0,1,0), ·=0,·=0,即EC⊥AE,EC⊥ED,又AE∩ED=E, ∴  EC⊥面C1AD. cos<,>==,即得和的夹角为60°. 所以二面角A1-AD-C1为60°. (2)棱锥——最简单的多面体 棱锥是一种简单的多面体,它有两个主要特征:①有一个形状是多边形的底面;②其他各面是有一个公共顶点的三角形,这些三角形是棱锥的侧面. 三棱锥是最简单的棱锥,也是最简单的多面体(四面体),多面体的研究往往归结到三棱锥来,正像多边形的研究要归结到三角形一样. 三棱锥常成为多面体考题的载体. 故有人说,考多面体说到底是在考三棱锥. 【例2】 (I)给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明; (II)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小; (III)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪栟成一个直三棱柱,使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明。 【解析】解(I)如图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥. 如图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底. (II)依上面剪拼方法,有. 推理如下: 设给出正三角形纸片的边长为2,那么,正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形,其面积为.现在计算它们的高: ,. 所以. (III)如图3,分别连结三角形的内心与各顶点,得三条线段,再以这三条线段的中点为顶点作三角形.以新作的三角形为直棱柱的底面,过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线,沿六条垂线剪下三个四边形,可心拼成直三棱柱的上底,余下部分按虚线折起,成为一个缺上底的直三棱柱,即可得到直三棱柱. (3)球——与正多面

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