线性代数和解析几何复习题.doc

《线性代数与解析几何》习题 一、矩阵部分 (一)填空题设，，则 2．设方阵满足，满足，则____________. 提示：A2-2A-3I=0 → A(A-2A)=3I 4．设，则 . 提示： 对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。 5．设，则当满足条件 时，可逆. 提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。 (二)选择题 1设阶矩阵，则必有?????????????????????? ???（ ） （A） （B） （C） （D）2．????????????????????? ??? （ ） ?????? ??????????????? ??? （ ） 设维向量,矩阵,其中为阶单位矩阵,则 ( ) 提示：AB＝ (I-?T?)(I+2?T?)=I+?T?????T???T?? I+?T?????T(???T)??? 5．A、B （ ） （A） B=E （B） A=E （C）A=B （D）AB=BA 提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB 6．矩阵 ( ) A、1 B、2 C、3 D、4 提示：A=(a1,a2,a3,a4)T(b1,b2,b3,b4) (三)计算题 提示：AB-B=A2-I→(A-I)B=A2-I→B=(A-I)-1(A2-I) 也可使用矩阵初等行变换。 2．利用矩阵的初等变换解线性方程组，. 提示：AX=2X+B→AX-2X =B→(A-2I)X =B→使用矩阵初等行变换。 4．若 则X = . 提示：使用矩阵初等列变换。 (四)证明题 1设都是一个n阶对称矩阵，证明：对称的充要条件是。证明：任何一个n阶方阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和设n阶方阵不是单位方阵，且，试证明 (1)是不可逆矩阵 (2)均为可逆矩阵，并求逆矩阵设同阶方阵，其中可逆，且满足，证明可逆二、行列式部分= 。 提示：4×(-1)1+4×4×(-1)1+3×2×(-1)1+2×5 2．若4×4阶矩阵A的行列式是A的伴随矩阵则= ． 提示：detA*=(detA)n-1 3．已知是奇异阵，则_________. 提示：奇异矩阵行列式为零。 4．设是阶可逆方矩阵且, 则 1/5 , 56 , 5×2n , 5k . 提示：利用矩阵行列式的性质。 5．设是四阶单位矩阵的第列，，则 . 提示：4阶单位矩阵行列式在进行初等列变换时其系数及符号的变化规律。参见作业。 6．已知，　　　， ＝　　　　，其中是元素的代数余子式是伴随矩阵转置后的行列式，等于伴随矩阵行列式，故其值为37n-1，此处n=3。 表示行列式第2行元素与第三行元素相应代数余子式之和，故为0. （二）选择题 1． 提示：A2+AB+2I=0→A(A+B)=-2I→|A(A+B)|=|-2I|→|A||A+B|=(-2)3|I|→|A+B|=-4 2． （A） （B） （C） （D） 提示：|AB|=|A||B|=|BA| 3．设阶矩阵 ,若矩阵的秩为,则必为 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????( ???????? ) 提示：参见前面的内容。 5． 　 ( ) 提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB (AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA →(BA)2= BABA = (BAB)A= A-1 A= I 6．设为阶方阵。下列命题中正确的是　　　　　　　　　　　　　　（ 　 　 ） 提示：AB=0→|AB|=0→|A||B|=0 (三)计算题 １．计算行列式. 2、计算行列式 提示：第一题：按行或列展开，或将第一行的y/x倍加到第4行，但要讨论x为0时的情形。 第二题：利用初等变换。 3．当为何值时, 齐次线性方程组有非零解. 提示：系数矩阵行列式