线性代数研究型综合型应用型题目.doc

《线性代数与空间解析几何》 研究型、应用型、综合型题目1.一般的数字可看作零维数组，向量可看作一维数组，矩阵可看作二维数组，那么三维数组能作为一个代数概念来看待吗？其相应运算如何定义？变换如何执行？有何应用？2. 类似于行列式的定义我们定义新的代数概念如下： 一阶： 二阶： 三阶： ……………………………… 类似地可对n阶的情况给出定义。请问这一个新的代数概念，其性质如何？有何应用？3. 设方阵定义其中为元素在矩阵A中的余子式，试问有什么性质？任意给定一个2阶实矩阵, 能否找出所有与A可交换相乘的矩阵? 如果给定的矩阵是实对称矩阵, 结论如何? 设n阶矩阵A的各行各列都只有一个元素是1或-1，其余均为0存在正整数k，使得Ak=I. 矩阵乘法是线性代数中的基本算法之一。对两个n阶矩阵其乘积计算往往需要次乘法和次加法，很长时间以来人们对此深信不疑。然而，1969 年Strassen通过对矩阵乘积元素之间的关系分析，构造出了一种只需次乘法的矩阵相乘运算。其原理是首先将阶的矩阵和进行2X2分块： 然后采用如下7次矩阵乘法和18次矩阵加法： ，；，； ，；. 在上述计算中，对各子块递归使用该Strassen算法，最后获得矩阵。请仔细分析一下上述过程，获得新型的矩阵乘法计算方案，使得计算总量更少。. 设A是n×n矩阵，则A可逆存在常数项不为0的多项式g(x)，使得g(A)=0。则 称为矩阵与的Kronecker积（或称直积，张量积）。 试证明Kronecker积满足下面的几个性质： ；; ; ; ; ; 提示：根据Kronecker积的定义和分块矩阵的乘法证明。 9.设阶矩阵，其中表示的第i列。定义算符 试通过Kronecker积的定义和该算符将矩阵方程转换成线性方程组的形式，其中， 提示：利用Kronecker积和向量化算符将原方程转换为： 从而将原矩阵方程转换为线性方程组，方便求解。 10.对于同型矩阵，定义一种乘法运算，使得任意都有 并按照第一题的形式尽可能给出这种矩阵运算的性质。 提示：验证Hadamard积交换律，分配率，结合律，推导其转置运算，逆运算等性质。 11.(Cayley-Hamilton定理) 若是的特征值，证明 若可逆，通过该式写出的表达式。 提示：利用伴随矩阵的性质及的特征多项式。 12. 行随机矩阵是指矩阵的行和等于1非负矩阵，列随机矩阵是指列和等于1非负矩阵，而同时满足这两个条件的非负矩阵就是双随机矩阵。请尝试给出随机矩阵的性质和应用。.（LU分解）设A是矩阵，我们可以通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵。由此证明：A可以分解为（或）。其中L是一个对角线元素全为1的下三角矩阵，U是阶梯形矩阵，P是一个m阶置换矩阵（单位矩阵经过若干次行交换得到的矩阵）。.利用矩阵的LU分解给出线性方程组的较为简便的求解方法。设A为4阶方阵，且，请给出方程组解的公式。.求所有满足的三阶方阵。，再分情况讨论。 16.设A是矩阵，则以A的列向量确定的平行四边形的面积等于|detA|；设A是矩阵，则以A的列向量确定的平行六面体的体积等于|detA|。关于行列式的计算常用，试着对其归纳总结，举例说明。. 已知： (2)若，其中互不相等，令，则，。 试利用上面两个结果推导下面行列式的计算公式. 提示： 20.设(1)由数生成的范德蒙矩阵记为，即 (2)设,令，，则矩阵称为由实数生成的等幂和矩阵. 试证明： (1) (2)实数仅有个互异的充要条件是即可得到证明。 21. 矩阵分块是处理阶数较高的矩阵时常用的方法。我们把当作数一样处理，从而把高阶矩阵为低阶矩阵问题。分块矩阵的初等变换在线性代数中有非常广泛的应用。参照教材中对一般矩阵初变换给出分块矩阵初等变换，并讨论分块矩阵的初等变换与初等矩阵的关系。. 利用分块矩阵，证明下列等式： （2）.初等变换与初等矩阵的关系； （2）； （3）.