量子力学导论第章答案.doc

第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且 证：ⅰ） 为厄米算符。 ⅱ） 也为厄米算符。 ⅲ）令，则， 且定义 （1） 由ⅰ），ⅱ）得，即和皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 4.2）设是的整函数，证明 整函数是指可以展开成。 证： （1）先证。 同理， 现在， 而 。 又 而 4.3）定义反对易式，证明 证： 4.4）设，，为矢量算符，和的标积和矢积定义为 ，为Levi-civita符号，试验证 （1） （2） （3） 证： （1）式左端 （1）式右端也可以化成 。 （1）式得证。 （2）式左端 （） （2）式右端 故（2）式成立。 （3）式验证可仿（2）式。 4.5）设与为矢量算符，为标量算符，证明 （1） （2） 证：（1）式右端 （1）式左端 （2）式右端 （2）式左端 4.6）设是由，构成的标量算符，证明 （1） 证： （2） （3） 同理可证， （4） （5） 将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。 4.7）证明 。 证： 利用基本对易式 即得 。 因此 其次，由于和对易，所以 因此， 4.8）证明 （1） （2） （3） （4） 证: （1）利用公式 ，，有 其中 因此 （2）利用公式， （Δ） 可得 ① ② ③ 由①②③，则（2）得证。 （3） （4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2）， ， 其中 （即） 类似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）题得证。 4.9）定义径向动量算符 证明：， ， ， ， 证：， 即为厄米算符。 据4.8）（1），。 其中 ， 因而 以左乘上式各项，即得 4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。 解：一维谐振子能量 。 又奇，，， （由(3.8)、(3.9)题可知） ，， 由测不准关系，得 。 ，得 同理有，。 谐振子（三维）基态能量。 4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 ，在类氢原子中变为。 类氢原子基态波函数，仅是的函数。 而，故只考虑径向测不准关系， 类氢原子径向能量为：。 而，如果只考虑基态，它可写为 ， 与共轭，于是，， （1） 求极值 由此得（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得 基态能量， 运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。 4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。 证：设定态波函数的空间部分为，则有 为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系： 。 这里已用到最基本的对易关系，由此 这里用到了的厄米性。 这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在或的本征态中，的平均值必为0。 4.13）证明在的本征态下，。