高31轮复习丛书19向量数量积平面向量的坐标.doc

向量数量积 平面向量的坐标 【知识要点】 1. 向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角:作＝，＝，则AＯ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角两向量必须是同起点的范围0?≤?≤180?与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积. (3)向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。 (4)向量数量积的性质:①。 ②； ； ③；； 。④向量的夹角：cos= 2. 平面向量的坐标表示 （1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。 ，记作=(x,y)， 规定：①相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；②向量的坐标与表 示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。 （2）平面向量的坐标运算： ①若，则； ②若，则； ③若=(x,y)，则=(x, y)； ④若，则。 ⑤若，则·=。 (3)向量的夹角：cos==。 两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O， (4)平面内两点间的距离公式:设，则或。 的起点和终点的坐标分别为、，则。 【典例解析】 例1.| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角角度为______ 例2.设平面内有△ABC及点O，若满足关系式：，那么△ABC一定是 A、直角三角形 B、等腰直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形1. 若三点共线，则有 （ ） A B. C. D. 2.已知向量、满足、，且，则与的夹角为 （ ） A. B. C. D. 3.设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（·）－（·）= ② ||－|||－| ③（·）－（·）不与垂直 ④（3+2）（3－2） =9||2－4||2， 其中是真命题的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 4.若平面向量与向量平行，且，则( ) A. B. C. D. 或 5.已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c=a+b，且a⊥c，则的值为（ ） A． B． C．2 D． 6.已知边长为1的正三角形中，则的值为（ ） A． B． C． D． 7.已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，若，则△的形状为 （ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 9. 已知点P是△ABC所在平面内一点，||＋||＝||＋||，则 A.PC⊥AB B.PC平分∠ACB C.PC过AB的中点 D.P是△ABC的外心 （ ） 10.已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设 =m+n(m、n∈R)，则等于 （ ） A. B. 3 C. D. 11．已知向量，若与垂直，则 （ ） A. B. C. D. 4 12. 已知，是坐标原点，动点满足，并且，则实数的取值范围是： （ ） Ａ． 　　　Ｂ． 　　Ｃ． 　Ｄ． 二、填空题 13．判断下列各命题正确与否： （1）；（2）若，则当且仅当时成立； （3）；（4）对任意向量都成立； （5）若，则；（6）对任意向量，有。 (7)m（）=m+m 14．若向量则 。 15．若，试判断△ABC的形状_________。 16．若，则与垂直的单位向量的坐标为__________。 17．平面向量中，已知，，且，则向量______。 18．不共线的向量，的模都为2，若，， 则两向量与 的夹角为 19. O为平面上定点，A, B, C是平面上不共线的三点，若()·()=0, 则?ABC的形状是