高3数学概念、方法、题型、易误点总结05.doc

高三数学概念、方法、题型、易误点总结（五） 班级 姓名 五、平面向量 1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____ （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是______ 2、向量的表示方法： （1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2，则______； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 ( ) A. B. C. D. ； （3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____； （4）已知中，点在边上，且，，则的值是__ _; 4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。 5、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作， 称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 如（1）△ABC中，，，，则_________； （2）已知，与的夹角为，则等于____；（3）已知，则等于____； （4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____ （3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。 如（1）已知，，且，则向量在向量上的投影为______ （2）已知a=(2,3) ,b=(－4,7) ,则a在b上的投影值为 （ ） A． B． C． D． （4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。 （5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①； ②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件； ③非零向量，夹角的计算公式：；④。 如（1）已知a=(2,－1), b=(λ,3). 1)若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是________. 2)若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是_________. （2）|a|=1,|b|= ,且(a－b)和a垂直,则a与b的夹角为 （ ） A．60° B．30° C．135° D．45° （3）与向量（1，的单位向量是（ ） A.（1， B. C.（0，1） D.（0，1）或,则的夹角为_______. （5）已知都是非零向量，且向量与向量垂直，向量与向量垂直，则的夹角θ的大小为 。 （6）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________； （7）已知与之间有关系式 ，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小 6、向量的运算： （