高三数学(理科)：导数及其应用(解析版).doc

2011高三数学(理科)：导数及其应用 知识要点梳理知识点一： 导数的相关概念1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径　　　 关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.　　2、导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即　　　 。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为　　　 。知识点二：导数的运算1、几种常见函数的导数公式： 　　　 ①；　　　　　② (a∈Q)； 　　　 ③；　　　　　　　 ④； 　　　 ⑤ 　　　　　　　 ⑥ 　　　 ⑦ 　　　　　 ⑧ 　　2、导数的四则运算法则：　　　 ①； 　　　 ②； 　　　 ③知识点三：导数的应用1　　（1）求出函数在处的导数；　　（2）利用直线的点斜式得切线方程。　　注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.2、判定函数的单调性　　（1）函数的单调性与其导数的关系　　设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。　　（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤　　(1) 确定函数f(x)的定义域；　　(2) 求导数；　　(3) 在定义域内解不等式；　　(4) 确定f(x)的单调区间。3、求函数的极值与最值　　（1）极值的概念　　一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，　　(1) 如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)＜f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，　　　　记作y极大值=f(x0)；　　(2) 如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)＞f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，　　　　记作y极小值=f(x0)。　　极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。　　注意：　　① 在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。　　② 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能　 　　有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或　 　　最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。　　③ 极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整　 　　个定义区间上的最小值。　　④ 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值　 　　的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。　　⑤ 连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问　 　　题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。　　⑥ 可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有　 　　切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的　 　　切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。　　（2）求极值的步骤　　① 确定函数的定义域；　　② 求导数；　　③ 求方程的根；　　④ 检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右　 　　正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)4、求函数的最值　　函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。　　（1）最值与极值的区别与联系：　　① 函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数　 　　的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；　　② 极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；　　③ 极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内　 　　部，也可能在区间的端点。　　④ 有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。　　（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤　　① 求函数y=f(x)在(a，b)