一笔画和最短路线.doc

一笔画和最短路线 一、一笔画 1. 下面的图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成（在图上标出箭头）；如果不能，请简单说明理由。 A组： B组： C组： （4） （5） （6） （7） 2．判断图中的三个图形，哪个图形能一笔画？为什么？请把能一笔画出的图形的画法用字母和箭头表示出来。 3．有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路。邮递员从邮局出发，能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？4．下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？ 1．甲、乙、丙是三个镇，中间有一条河把甲、丙和乙隔开，如图13—12，要使这三个镇中任何两个镇之间都有最短通路，除了在甲、丙之间修一条直线型公路外，还需要在河面上架两座桥，使甲与乙、乙与丙之间也有通路．这两座桥应架在什么地方最合理． 　　2．有两条通讯路线A和B，如图13—13，通讯员从C处出发，查完两条线后到D处，作图表示他怎样走路程最短（假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作）？ 　　3．要在两条街道（如图13—14）A和B上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？ 　　　　　　　　 　 　4．一个小虫从圆柱体（如图13—15）的A点处绕圆柱体侧面一周，最后爬到顶点B处．请画出小虫从A点绕到圆柱体侧面到达B点的最短路线． 　　5．如图13—16，A、B、C三点分别是正方体三条棱的中点．假设一只蚂蚁沿着正方体的表面从中点A爬到中点C，图中所示路线是否为蚂蚁爬行的最短路线，为什么？ 　　　　　　　　 答案仅供参考： 　1．如图13-1’所示，桥应架在AB、CD位置上． 　　　　 　　2．如图13-2’所示，沿C→P→Q→D走路程最短． 　　3．如图13-3’所示，邮筒应设在E、F两点，沿M→E→F→M路线为最短． 　　　 　　4．将圆柱体的侧面展开成一个长方形，如图13-4’．从A到B的直线段最短，把侧面展开图卷成圆柱，那么直线段AB就变成圆柱体侧面上的曲线AB，小虫沿着这条曲线爬行是最短路线． 　　5．要求A到C的最短路线，可以先把立方体展开，使它相邻两个面处于同一平面内．蚂蚁从A到C有两条路线可以选择： 　　（1）将朝上的一面与朝前的一面展开在同一平面内，连结AC，则AC一定过中点B，如图13-5’．假设正方体的棱长为2个长度单位，则由勾股定理，得： 　　AC2=22＋22=8 　　（2）把朝前和朝右的一面展开在同一平面内，连结AC，如图13-6’．同样可以求得 　　AC2=12+（2＋1）2=10 　　比较两种路线，由于8小于10，所以沿第一条路线从A到C的路线为最短，即图13-21所示路线是蚂蚁爬行的最短路线． 　 6、甲、乙两村之间隔一条河，如图13—1．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？ 分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了． 　　所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如图13—2，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题． 解：如图13—2．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线． 7、如图13—3，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？ 8、如图13—6，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短． 分析：工人们从A出发先到河边码头