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2.3.4 平面与平面垂直的性质
整体设计
教学分析
空间中平面与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点:(1)它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端,即先由面面垂直转化为线面垂直,否则无法解决问题.因此,面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.
三维目标
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力.
2.面面垂直的性质定理的应用,培养学生的推理能力.
3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.
重点难点
教学重点:平面与平面垂直的性质定理.
教学难点:平面与平面性质定理的应用.
课时安排
1课时
教学过程
复习
(1)面面垂直的定义.
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直.
(2)面面垂直的判定定理.
两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为:α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为:
图1
导入新课
思路1.(情境导入)
黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
思路2.(事例导入)
如图2,长方体ABCD—A′B′C′D′中,平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗?
图2
推进新课
新知探究
提出问题
①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B.
请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.
图3
②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明.
③设平面α⊥平面β,点Pα,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.
④分析平面与平面垂直的性质定理的特点,讨论应用定理的难点.
⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.
活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系.
问题②引导学生进行语言转换.
问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.
问题④引导学生回忆立体几何的核心,以及平面与平面垂直的性质定理的特点.
问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.
讨论结果:①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3.
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为:如图4.
图4
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为:AB⊥β.
两个平面垂直的性质定理证明过程如下:
图5
如图5,已知α⊥β,α∩β=a,ABα,AB⊥a于B.
求证:AB⊥β.
证明:在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.
由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD,BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.
③问题③也是阐述面面垂直的性质,变为文字叙述为:
求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.下面给出证明.
如图6,已知α⊥β,Pα,Pa,a⊥β.求证:aα.
图6
证明:设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c,
∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β,Pa,
∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么aα.
利用“同一法”证明问题,主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法,这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b,不易想到,二是证明直线b和直线a重合,相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知,可以在交线上,也可以不在交线上.
④我认为立体几何的核心是:直线与平面垂直,因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的,例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁,而且由它还可以转化为线线平行,即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线,因此它是立体几何中最重要的定理.
⑤应用面面垂直的性质定理口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”.
应用示例
思路1
例1 如图7,已知α⊥β,a⊥β,aα,试判断直线a与平面α的位置关系.
图7解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,
∵α⊥β,
∴b⊥β.
∵a⊥β,
∴a∥b.
∵aα,
∴a∥α.
变式训练
如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ,又同平行于直线b.求证:(1)a⊥γ;(2)b⊥γ.
图8 图9
证明:如图9,
(1)设α∩γ=AB,β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB,PN⊥AC.
∵
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