高中数学教案：排列与组合.doc

排列与组合　　一、知识网络 二、高考考点 　　1、两个计数原理的掌握与应用； 　　2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 　　3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题） 　　三、知识要点 　　一．分类计数原理与分步计算原理 　　1 分类计算原理（加法原理）： 　　完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ mn种不同的方法。 　　2 分步计数原理（乘法原理）： 　　完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× mn种不同的方法。 　　3、认知： 　　上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。 　　二．排列 　　1 定义 　　（1）从n个不同元素中取出m（ ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。 　　（2）从n个不同元素中取出m（ ）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 . 　　2 排列数的公式与性质 　　（1）排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）= 　　特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1 　　规定：0！=1 　　（2）排列数的性质： 　　（） = （排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系） 　　（） （排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系） 　　（） （分解或合并的依据） 　　三．组合 　　1 定义　（1）从n个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 　　（2）从n个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示。 　　2 组合数的公式与性质 　　（1）组合数公式： （乘积表示）　 （阶乘表示）　　特例： 　　（2）组合数的主要性质： 　　（） 　　 （上标变换公式） 　　（） 　　 （杨辉恒等式） 　　认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数；合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。 　　3 比较与鉴别 　　由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。 　　（1） 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 　　（2） 注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 　　四、经典例题 　　例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（　　　　 ） 　　A .5种　　　　　　 B.6种　　　　　　 C. 7种　　　　 D. 8种 　　分析：依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒”，而购得3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，只需讨论剩下的180元如何使用的问题。 　　解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：　第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；　　第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法； 第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；　　于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。 　　例2、已知集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5}，映射 ，当xM时， 为奇数，则这样的映射 的个数是（　　 ）　　A.20　　　　 B.18　　　　 C.32　　　　 D.24 　　分析：由映射定义知，当xM时， 　　当xM时，这里的x可以是奇数也