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例谈功的计算方法 西峡二高 袁卫国 功是中学物理中一个重要概念，功能关系是解决力学问题的重要途径之一。因此，正确理解功的内涵和外延，正确把握求功的方法是解决力学问题的基础。本文用实例就求功的方法展开讨论，供大家参考。 1、公式法 对于恒力的功，通常利用功的定义式进行计算。公式中的s是指力的作用点的位移，它跟物体的位移不一定相同。公式中的θ是指F与F作用点位移s间的夹角。 例1：如图1（a）所示，质量为m的物块放在一固定的斜面上，某人通过动滑轮用恒力F拉动物块，恒力F与斜面夹角为θ，将物块沿斜面前进，求人所做的功。 解析：当物块沿斜面向上移动l时，F需将绳子拉过l长度，而F的作用点的位移为s，方向由A指向B，如图1（b）所示，由等腰三角形知识易求，由功的定义式得： 2、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段力做功的代数和。 例2：某人用一个始终与速度方向一致的水平力F拉动小车沿半径为r的圆周运动一周，则此人做的功是多少？ 解析：从整个运动过程来看，F是一个大小不变，方向不断变化的变力，若把圆周运动分割成Δs1、Δs2、Δs3、Δs4……许许多多的子运动过程，在Δs1这一个子运动过程中，小段圆弧Δs1近似为直线，F可以作为恒力，它做的功为：W1=F·Δs1 F所做的功即为F在各个子运动过程中做功的代数和 W= W1+ W2+ W3+ W4+…… = F·Δs1+ F·Δs2+ F·Δs3+ F·Δs4+……=F·2πr 3、功率法 功跟完成这些功所需时间的比值，叫做功率。表达式为。对于一段时间内外力的功，有时可以直接利用W=Pt求出功，这里的P应该是恒定的功率，或者是平均功率。 例3：质量为m的机车以恒定的功率由静止出发沿直线运动，在t时间通过位移为s，速度达到最大vm，假设机车所受的阻力恒定。求机车在这段时间内所做的功_________。 解析：因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大时，机车所受的牵引力最小，与阻力相等。在这段时间内机车所受的阻力恒定，牵引力是变力，因此机车做功不能直接用功的定义式求解，但可用W =Pt计算。由动能定理： 其中阻力做的功W阻=- fs，牵引力的功W牵=Pt，即上式变为： 又因达到最大速度vm时，F=f，故 联立可解得： 3、能量法 功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。 根据力做功后引起物体能量的变化计算功，即。功是能量变化的量度，外力对物体做功，不但会引起机械能的变化，也会引起其他形式能量的变化，因此可以通过计算物体能量的变化来求合力或某个力的功。这里，经常用到动能定理。合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，这就是动能定理。由于在应用动能定理时不必追究物体运动全过程中各个变化的细节，只需要考虑初、末状态，为求解变力做功提供了简化处理的方法。 例4：质量为M的平板车静止光滑水平面上，有一质量为m的人静止在平板车上，若人以对地的速度v水平跳出，则人水平跳出过程中做的功为多少？ 解析：人从静止到跳出的这个极短的时间里，是一个变化的力在做功，直接利用定义式求解比较困难。系统开始是静止的，但在人水平跳出后，人和平板车的动能发生了改变，系统获得的机械能就是人所做的功W，即： 动量守恒可得： 解得： 例5：如图2所示，用汽车通过定滑轮拖动水面上的货船。汽车从静止开始把船从A拖到B，若滑轮的大小和摩擦不计，船的质量为M，阻力为船重的K倍，船在B处时，汽车的速度为v，其他数据如图所示，问这一过程中汽车对船做的功为多少？（绳子的质量不计） 解析：汽车对船所做的功，等于绳子对船做的功，而绳子的张力是变力，故直接求解比较困难。但在整个过程中， 小船动能的改变是由汽车和阻力共同作用的结果，所以可以用动能定理求解。 根据动能定理有： 其中阻力做的功： 又小船在B的速度为： 解得： 4、图象法 利用图象计算，如图3所示，阴影部分面积在数值上等于外力F在位移s上所做的功，其大小可以由平面几何知识求解。一般说来，当力F随位移是线形变化时，可以用图象法求解。 例6：用铁锤将一铁钉击入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相同，铁钉进入木块所受的阻力跟打入的深度成正比。如果钉子第一次被打入木块的深度为l，求第二次打入的深度是多少？ 解析：铁钉进入木块所受的阻力f跟铁钉进入木块的深度x之间的关系f=kx，由此可知，阻力是一个随位移线形变化的变力，所以用图象法求解，依题意做出f— x关系图线如