几何体的一种构造单纯体.docVIP

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几何体的一种构造——单纯体 (金飞 天津 南开大学 300071) 我们学习了几何学,对几何体有了一定的了解,当我们知道三维空间中只有五种正多面体时,不禁被它的神秘所吸引。你是否有一种想进一步了解它的冲动呢?我们下面要研究的是一种特殊的几何体——单纯体。单纯体即每个面均为相同多边形的多面体(可以是凹多面体也可是凸多面体)。 我们将会证明,只有三角形、四边形和五边形才可能构成单纯体,并着重讨论四边形构成单纯体的情况,包括完成菱形多面体的分类和讨论一般四边形构成单纯体的情况。对于筝形构成单纯凸多面体的分类,我们也已研究清楚,另文发表。 菱形多面体 为说明如何用菱形构造单纯体,我们先来了解它的一个特例——正6面体(即正方体,它的每个面均是正方形,而正方形是一种特殊的菱形)。如下图,容易知道连接正6面体的一组“面对角线”得到一个正4面体,因此正6面体可以这样构造出:在正4面体的每一条棱上均添加一个相同的正方形,使得正方形的对角线与正4面体的棱重合。 类似地,在正6面体或正8面体的棱上添加适当的菱形可得到菱形12面体,如下图所示: 同样地,在正12面体或正20面体的棱上添加适当的菱形可得菱形30面体,如下图所示: 将所得多面体列表如下: 正多面体 棱上添加 所得多面体 所得多面体的顶点数 所得多面体的棱数 所得多面体的面数 正4面体 正方形 正6面体 8 12 6 正6面体 菱形 菱形12面体 14 24 12 正8面体 菱形 菱形12面体 14 24 12 正12面体 菱形 菱形30面体 32 60 30 正20面体 菱形 菱形30面体 32 60 30 由以上归纳,我们给出一类新的多面体的定义——菱形多面体。 菱形多面体:即每个面均为相同菱形的凸多面体。 以上的几种菱形多面体人们早已发现,那么菱形多面体有多少种呢?前人并没有论述。 下面,我们讨论了关于菱形多面体的分类,得到如下定理。 定理:菱形多面体仅有五种,它们是菱形六面体、菱形十二面体、伴菱形十二面体、菱形二十面体和菱形三十面体。 证明:以下分四种情况讨论 (一) 若每个顶点周围仅有三个面 菱形多面体的每个面均为四边形,则有 4F=2E (1) 每个顶点周围有三个面,则有 3V=2E (2) 欧拉公式 V—E+F=2 (3) 由(1)、(2)、(3)可得 V=8 、 E=12 、 F=6 对应的多面体为菱形6面体。 如下图: (二)若有一顶点,其周围有四个面 则这个顶点周围的四个角的组合有以下几种情况: 这个顶点这周围有四个锐角 如图-1,易知,A、B、C、D四点最多再接一个菱形,否则该点周围面角之和将不小于360度。 若A、B、C、D点都接菱形锐角,即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为锐角,由对称性可知A、B、C、D共面,且BC∥AD,如图-2考察四边形ABCD,AB=BC=CD=AD=AC=BD,易知,四边形ABCD不存在,所以这种情况不行。 若B点接锐角,C点接钝角。即∠EBF为锐角,∠FCG为钝角,由平行线所夹角的关系可得 ∠GDH=∠EBF,∠HAE=∠FCG。考察如图-3多面体,PA=PB=PC=PD,AB=BC=CD=DA=AC,设菱形的长对角线长为2b,短对角线长为2a,易计算得,=,在此条件下,我们通过作图以及模型制作发现这种菱形拼成一个12面体,而且拼法唯一,我们称之为伴菱形12面体。 若A、B、C、D点都接菱形钝角,即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为钝角。 易计算得,该菱形的长短对角线长之比为,它拼成菱形12面体。 2.这个顶点周围有三个锐角和一个钝角,如图-4,∠APD为钝角。 (1) 若A、B、C、D点都接菱形锐角,即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为锐角,由对称性可知A、B、C、D四点共面,且BC∥AD,考察四边形ABCD,AB=BC=CD,BD=AC=AB,易知,四边形ABCD不存在,所以此种情况不行。 (2) 若B、C点都接菱形钝角,即∠EBF为锐角,∠FCG为钝角,易知,∠GDH=∠EBF, ∠HAE=∠FCG,BD=FG=AD,EF=AC=AB=BC,考察图-5多面体,AD=BD,AC=BC, 则,≌,∴∠ACD=∠BCD,因此,点D在平面ABC上的投影在∠ACB的角平分线上,又因该多面体为凸多面体,因此点D在平面ABC上的投影在面PBC的一侧,易知此投影在直线BC的左侧,因此与点D在平面ABC上的投影在∠ACB的角平分线上矛盾。 (3) 若A、B、C、D点都接菱形钝角,即∠EBF=∠FCG=∠GD

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