几何体的一种构造单纯体.docVIP

几何体的一种构造——单纯体 (金飞 天津 南开大学 300071) 我们学习了几何学，对几何体有了一定的了解，当我们知道三维空间中只有五种正多面体时，不禁被它的神秘所吸引。你是否有一种想进一步了解它的冲动呢？我们下面要研究的是一种特殊的几何体——单纯体。单纯体即每个面均为相同多边形的多面体（可以是凹多面体也可是凸多面体）。 我们将会证明，只有三角形、四边形和五边形才可能构成单纯体，并着重讨论四边形构成单纯体的情况，包括完成菱形多面体的分类和讨论一般四边形构成单纯体的情况。对于筝形构成单纯凸多面体的分类，我们也已研究清楚，另文发表。 菱形多面体 为说明如何用菱形构造单纯体，我们先来了解它的一个特例——正6面体（即正方体，它的每个面均是正方形，而正方形是一种特殊的菱形）。如下图，容易知道连接正6面体的一组“面对角线”得到一个正4面体，因此正6面体可以这样构造出：在正4面体的每一条棱上均添加一个相同的正方形，使得正方形的对角线与正4面体的棱重合。 类似地，在正6面体或正8面体的棱上添加适当的菱形可得到菱形12面体，如下图所示： 同样地，在正12面体或正20面体的棱上添加适当的菱形可得菱形30面体，如下图所示： 将所得多面体列表如下： 正多面体 棱上添加 所得多面体 所得多面体的顶点数 所得多面体的棱数 所得多面体的面数 正4面体 正方形 正6面体 8 12 6 正6面体 菱形 菱形12面体 14 24 12 正8面体 菱形 菱形12面体 14 24 12 正12面体 菱形 菱形30面体 32 60 30 正20面体 菱形 菱形30面体 32 60 30 由以上归纳，我们给出一类新的多面体的定义——菱形多面体。 菱形多面体：即每个面均为相同菱形的凸多面体。 以上的几种菱形多面体人们早已发现，那么菱形多面体有多少种呢？前人并没有论述。 下面，我们讨论了关于菱形多面体的分类，得到如下定理。 定理：菱形多面体仅有五种，它们是菱形六面体、菱形十二面体、伴菱形十二面体、菱形二十面体和菱形三十面体。 证明：以下分四种情况讨论 (一) 若每个顶点周围仅有三个面 菱形多面体的每个面均为四边形，则有 4F=2E （1） 每个顶点周围有三个面，则有 3V=2E （2） 欧拉公式 V—E+F=2 （3） 由（1）、（2）、（3）可得 V=8 、 E=12 、 F=6 对应的多面体为菱形6面体。 如下图： （二）若有一顶点，其周围有四个面 则这个顶点周围的四个角的组合有以下几种情况： 这个顶点这周围有四个锐角 如图-1，易知，A、B、C、D四点最多再接一个菱形，否则该点周围面角之和将不小于360度。 若A、B、C、D点都接菱形锐角，即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为锐角，由对称性可知A、B、C、D共面,且BC∥AD，如图-2考察四边形ABCD，AB=BC=CD=AD=AC=BD，易知，四边形ABCD不存在，所以这种情况不行。 若B点接锐角，C点接钝角。即∠EBF为锐角，∠FCG为钝角，由平行线所夹角的关系可得 ∠GDH=∠EBF，∠HAE=∠FCG。考察如图-3多面体，PA=PB=PC=PD，AB=BC=CD=DA=AC，设菱形的长对角线长为2b，短对角线长为2a，易计算得，=，在此条件下，我们通过作图以及模型制作发现这种菱形拼成一个12面体，而且拼法唯一，我们称之为伴菱形12面体。 若A、B、C、D点都接菱形钝角，即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为钝角。 易计算得，该菱形的长短对角线长之比为，它拼成菱形12面体。 2．这个顶点周围有三个锐角和一个钝角，如图-4，∠APD为钝角。 （1） 若A、B、C、D点都接菱形锐角，即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为锐角，由对称性可知A、B、C、D四点共面,且BC∥AD，考察四边形ABCD，AB=BC=CD，BD=AC=AB，易知，四边形ABCD不存在，所以此种情况不行。 （2） 若B、C点都接菱形钝角，即∠EBF为锐角，∠FCG为钝角，易知，∠GDH=∠EBF， ∠HAE=∠FCG，BD=FG=AD，EF=AC=AB=BC，考察图-5多面体，AD=BD，AC=BC， 则，≌，∴∠ACD=∠BCD,因此，点D在平面ABC上的投影在∠ACB的角平分线上，又因该多面体为凸多面体，因此点D在平面ABC上的投影在面PBC的一侧，易知此投影在直线BC的左侧，因此与点D在平面ABC上的投影在∠ACB的角平分线上矛盾。 （3） 若A、B、C、D点都接菱形钝角，即∠EBF=∠FCG=∠GD