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变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择 中煤北京煤机公司退休职工 周万峰 摘要：目前变位圆柱齿轮的跨齿数，教材、手册上大都给出的是用公式“”和“公法线长度表”进行选择。其实该公式和该表并不是情况良好的公式和情况良好的选择用表。本文对此进行了分析和论证，并推荐出情况良好的公式和给出合理的选择用表。 关键词：跨齿数，公法线长度，公法线长度测量点。 目前手册上对变位齿轮的跨齿数大都给出两种确定方法：一种是用公式计算，一种是查图表。用公式计算绝大多数手册都给出的是下面的公式： （直齿） （1） （斜齿） （1） 用查表法手册大都给出的是“的标准齿轮的公法线长度”（见表1）。笔者认为：公式（1）并不是个情况良好的公式，表1也不是个跨齿数合理的选择用表。下面进行分析和论证。 表1 公法线长度 86 ≤0.6 10 29.2497 97 ≤0.5 11 32.3560 ＜0.6～1.2 11 32.2020 ＞0.5～1.1 12 35.3080 ＞1.2～2 12 35.1540 ＞1.1～1.9 13 38.2600 ＞2～2.8 13 38.1060 ＞1.9～2.5 14 41.2120 注：本表选自1991年版由徐灏任主编的《机械设计手册》第三卷“表23·2——13”。该表跨齿数偏少，公法线的测量点靠近齿根，情况不良。今天各家手册大都有这个表。 1、表1不是跨齿数合理的选择用表 今天各家手册都给出了表1这样的“公法线长度表”，但该表并不是个公法线长度计算合理的选择用表： ⑴ 该表是将“公法线长度”与“基圆弧长”混为一谈的。该表称“为 （或的标准齿轮的公法线长度”是不合理的。对z=86这个齿轮而言，经验证当k=10、k=11时，它们对应的是这个标准齿轮的公法线长度；但当k=12、k=13时，它们对应的就不是这个标准齿轮的公法线长度了。因为它们的测量点都在齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，所以它们不是公法线长度。下面对这条所谓公法线长度的合理性进行验证如下： ① 计算的测量点所在圆直径 ，为基圆直径，。 。 ② 计算标准齿轮的齿顶圆直径 为齿顶高，。 ③ 计算公法线测量点至齿顶的距离 。 公法线测量点至齿顶的距离为负值，这说明测量点在齿顶圆之外，量具卡脚不能与渐开线齿廓相切，不符合公法线长度的定义，所以这条线段不是公法线长度。K=12的这条都不是公法线长度，那k=13的这条就更不是公法线长度了。在这4条线段中有两条是公法线长度，有两条不是公法线长度；而教材、手册一概称它们都是公法线长度，显而易见这种说法是站不住脚的。那么k=12、k=13这两条线段是什么呢？它们是该齿轮含12个齿和13个齿的基圆弧长而不是公法线长度。然而把“基圆弧长”说成是“公法线长度”这显然是指鹿为马了。 那么在这种情况下（如表1中既有公法线长度，又有基圆弧长）怎么办呢？笔者认为在这种情况下应将它们一概称做“基圆弧长”是说得通的。因为凡是公法线长度必然是基圆弧长，而没有公法线长度功能的基圆弧长，它本身就是基圆弧长。因此在这种情况下一概称它们是“基圆弧长”是合理的，而一概称它们为“公法线长度”是不合理的。 ⑵ 表1给出的变位系数范围过大，因而有些跨齿数是不合理的 比如z=86这个齿轮当x0.6~1.2时k=11，变位系数范围过大了，不合理。 x0.26~0.903时k=11才是合理的；当x0.903~1.2时就该按k=12计算了（见表2）。表1误差如此之大，怎能保证公法线长度的合理性及合理测量呢？须知：跨齿数多跨或少跨1齿有时会给公法线长度的测量造成“测量点在齿顶部或齿根部，使公法线长度测量不准或无法测量”，而且还会给斜齿轮造成不良的后果。详见拙作《从斜齿轮齿宽能否进行公法线长度的测量的验算结果，看跨齿数选择合理的重要性》一文。表1的问题是：跨齿数偏少，公法线测量点靠近齿根；公法线长度测量不准，影响齿厚精度。 ⑶ 表1只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。 表1中只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。谁能说只设计正变位齿轮而不设计负变位齿轮呢？当设计负变齿轮时设计者还需另找资料，这不是增加麻烦吗？鉴于表1种种不合理、不完整之情况，笔者不揣冒昧，将表1改造成表2的样子（见表2）。笔者认为：表2才是变位齿轮跨齿数选择和公法线长度计算的合理用表。 2、公式(1)并不是个情况良好的公式 公式（1）是今天众多手册如《机械设计手册》、《机修手册》等手册热选的公式，但它并不是个情况良好的公式。它的跨齿数往往偏多，公法线的测量点靠近齿顶，情况不良（见表3）。在众多跨齿数