差分方程的解法1.docVIP

第三节????? ??????? 高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析 江西省高中数学课程标准研究组 舒昌勇 （341200） 在高中数学新课标选修系列4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程xn+1=kxn+b (1) 是讨论的重点，其一般形式为 xn+1=kxn+f(n) (2) 其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数．当f(n)≠0时，方程（2）称为非齐次的，f(n)=0时，方程 xn+1=kxn (3) 称为齐次的，并称（3）为（2）相应的齐次方程．方程（1）是方程（2）当f(n)为常数的情况，是方程（2）能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种． 我们来讨论方程（1）和（3）通解的求法． 1 求一阶齐次差分方程xn+1=kxn的通解 用迭代法，给定初始值为x0，则一阶齐次差分方程xn+1=kxn的通解为 x1 = kx0，x2=kx1=k2x0，x3=kx2=k3x0，…， 一般地，有 xn= kx0-1= k(k n-1x0)= knx0，n = 1，2，…， 由于x0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用c来表示．又根据差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数，则为其通解，故一阶线性齐次方程xn+1=kxn的通解可表为 xn=knc（c为任意常数）. 对于每一个任意给定的初始值x0，都能得到方程相应于该初始值的一个特解.而求特解只要将给定的初始值x0代入通解求出待定常数c即可. 2 求一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b的通解 2．1探索一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b通解的结构 设数列﹛yn﹜，﹛zn﹜为方程（3）的任意两个解，则 yn+1=k yn +b (4) zn+1= k zn +b (5) (4)－(5) 得 yn +1－zn +1=k(yn － zn ) 这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解．从而，若an为非齐次方程（3）的任意一个解，bn为非齐次方程（3）的一个特解，则an-bn就为相应齐次方程的一个解．为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解an作适当变形： an=an+bn- bn= bn +( an - bn) 这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个解的和的形式．从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解． 2．2 求一阶非齐次差分方程（3）的通解 ①用迭代法，设给定的初始值为x0，依次将n=0，1，2，…代入（3），有 x1=kx0+b x2=kx1+b=k(kx0+b)+b =k2x0+b(1+k) x3=kx2+b= k[k2x0+b(1+k)]+b= k3x0+b(1+k+k2) …… xn=knx0+b(1+k+k2+…+k n-1) ⅰ）当k≠1时, 1+k+k2+…+k n-1 = 此时xn=knx0+=kn(x0－)+ 由于x0表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而x0－ 也为任意常数．令x0－=c，则（3）的通解可表为 xn=knc+ （c为任意常数） ⅱ）当k=1时,1+k+k2+…+k n-1=n 此时xn=x0+nb 由于x0可任意给定，即其可为任意常数，故（3）的通解可写为 xn=c+nb （c为任意常数） ②待定系数法 与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简便、常用的方法．其基本思想是：根据方程的非齐次项f(n)的特点，用与f(n)形式相同但系数为待定的函数，作为方程的特解（称为试解函数），然后将该试解函数代入方程，以确定试解函数（特解）中的待定系数，从而求出方程的一个特解． ⅰ）当k≠1时，设方程（3）有一特解xn =A，其中A为待定常数，将其代入（3），有 A=kA+b ， A= ，xn= 知此时方程（3）的通解为 xn= knc+ （c为任意常数） ⅱ）当k=1时，方程（3）为xn+1=xn+b，知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如xn =An的特解，代入（3），有 A(n+1)=An+b ， 得A=b ， 即xn=bn 知此时方程（3）的通解为 xn= knc+bn= c+bn （c为任意常数） 例1 求差分方程2yt+1+5yt=0的通解，并求满足y0=2的特解. 解 将原方程改写成yt+1=（-）yt ， 故其通解为yt=(-)tc ， c为任意常数. 用y0=2代入通解：2=（-）0c ， 得 c = 2 . 满足初值y0=2的特解为yt=2(-)t. 例2 求下列差分